概率问题解决中符号表示的教学引导探究

摘要：在概率问题解决中，用数学符号表示事件与其相互关系是数学抽象的第一步，在解题过程中是关键的步骤.本文通过分析概率问题解决过程中符号表示的功能，以一道高三复习的概率题为例，从解题思路探索中，分析符号表示的作用，并探究该类解题教学中如何引导学生通过符号表示理清问题背景信息，解决问题.

关键字：概率；问题解决；符号表示；全概率公式；马尔可夫链

前言

概率论是研究随机现象规律的数学学科，是中学数学的重要学习内容.在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）的指引下，结合具体事例，理解随机事件、古典概型等概率基本概念，并通过符号语言表述进而掌握随机事件概率的运算法则，是概率学习的主要目标[1].新版教材中，新增了“全概率公式”、“贝叶斯公式”等知识点，进一步重视对学生的数学学科素养的培养，也对他们提出了更高的要求.在近几年的高考中也频频出现相关的概率计算与证明问题，给考生制造不小的障碍.究其原因，主要在于数学抽象的能力不足，无法对复杂随机事件进行符号表示.

《课标》中指出：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养. 主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征[2]. 其中，“用数学语言予以表征”即是符号表示. 可见，符号表示是数学抽象中的一个重要环节. 在概率研究中，我们研究的对象是各种复杂的随机事件，通过符号表述可以将事件进行简化，忽略其它方面，将注意力集中在随机事件的发生和变化上，得到事件间有用的规律和变化的特征，从而从根本上探究问题的解决方法. 符号表示的突出作用主要体现在对数学概念、运算公式的理解上，以及数学模型的建构上. 下面我们将通过一道概率解答题的解答过程进行教学引导上的探究.

1  例题展示

2024-2025学年佛山市普通高中教学质量检测（一）第16题：

ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球. 甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权. 设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”.

该题属于基础题型，主要考查的知识点包括：条件概率、全概率公式、数列递推式与等比数列概念及其通项公式.考查的学科素养包括：数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算. 题目的命制特点鲜明，体现基础性、综合性、应用性和创新性，符合《中国高考评价体系》对考题命制的基本要求.对于部分考生来说，本题的难点也是比较突出的——对随机事件概率符号表述的不理解造成解题困难，无从下手.

2  解题思路引导探究

对于上述例题第一问中的证明问题，有两个解题思路：一个是求出左边两个概率的代数式，证明其相加为1；另一个思路是利用对立事件概率之和为1的等量关系进行等量替换. 引导如下：

师：同学们，你们如何理解第一问中的这个式子？左边表示的是什么事件的概率呢？

学：是指第次发球的人是甲的情况下第次发球的人也是甲的概率，是一个条件概率.

师：如果考虑条件概率的计算公式，题目是否提供了所需的信息呢？

师：那么考虑缩小样本空间，直接在“第次发球的人是甲”这个前提下计算概率.其中涉及到发球方是否发出ACE球的情况，属于复杂随机事件的概率计算，该用哪个概率计算的工具呢？

学：可以考虑全概率公式. 利用全概率公式的图形表述，类比得到本题的计算公式.

师：第二问中，涉及连续两次发球权问题，“第次发球的人是甲”仅与“第次发球的人是否是甲”有关，即与应该有个关系式，同学们可以联想到我们前面学习的解题工具吗？

生：符合马尔可夫链模型.

3  思路引导要点

发展学生的数学学科核心素养，引导学生逐步学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界. 这是新时代数学教育中立德树人的基本内涵，也是指引中学数学教学的方针. 所以不只是概率问题，所有的数学问题都需要数学符号的引入和表示. 而概率问题由于涉及到复杂多变的随机事件，其数学化难度较高，往往会让老师们忽略，但是恰恰是符号表示可以帮助学生对概率论知识进行有效整理，从整体上进行把握，从而掌握随机事件的基本特征，进而解决问题，得到素养上的提升.

参考文献

[1]普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册（2019年版）[M]北京：人民教育出版社，2023.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]北京：人民教育出版社，2020.

[3]普通高中教科书数学选择性必修第三册（2019年版）[M]北京：人民教育出版社，2023.

[4]潘敬贞，钱耀周. 一道质检题的命制与思考.[J]数学考试（高考数学）2024（11）：8-12.