类比迁移 深化思维

“以反映数学内容本质、符合学生认知水平的问题 ， 引导学生开展探究性学习 ， 通过类比、联想、特殊化、一般化等推理活动发现和提出数学问题、形成研究思路、找到研究方法．”[1] 本节课在研究“角平分线”的基础上， 继续研究平面几何中最基本的轴对称图形—线段．根据学习“角平分线”的经验，通过“类比”的方法，利用“问题导学”，引导学生观察、思考、合作探究，构建知识框架，实现学习过程、经验的“结构化”。

一、教材分析

“线段的垂直平分线”是人教版八年级上册“轴对称”主题下章起始课“轴对称图形”的第二节。“线段”和“角”都是轴对称图形中的基本元素，它们的学习内容、学习方法具有一致性。因此，“线段的垂直平分线”类比迁移“角的平分线”的学习方法，来进行性质、判定和作法的研究。线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的核心是“一条线、两端点、距离相等”，是在全等三角形应用的发展与延续，是证明线段、角相等等常用的方法，为后续学习等腰三角形、圆等知识提供了知识与方法的支撑。通过结构化教学，让学生更好地理解和掌握“线段的垂直平分线”的性质和应用，在深入理解知识的同时，促进学生灵活应用知识解决实际问题。在整体化教学的框架下，形成对轴对称图形的系统认识，发展数学思维，提高逻辑推理能力。

二、教学目标

（1）通过探究并证明线段的垂直平分线的性质和判定，发展演绎推理能力

（2）会画出线段的垂直平分线，渗透“模型”思想；

（3）类比角平分线的研究路径，完成对线段垂直平分线知识框架的构建，提升类比迁移的能力。

三、教学过程

环节一：创境引悱，孕育模型

问题1 ：我们学习了轴对称图形，角是轴对称图形吗？如果是，你能找出角的对称轴吗？问题 2 ：角的对称轴是角的平分线所在的直线，角的平分线定义是什么？我们还学习了与角平分线相关的哪些知识，你能分别说一说，画一画吗？

问题 3 ：我们怎样研究角的平分定义——性质——判定——应用

[ 设计意图 ] 复习角的平分线相关知识，利用学生已有认知结构中的相似知识（对称性、距离相等、全等证明），为新知识（线段垂直平分线）搭建“类比→迁移→拓展”的学习路径

环节二：设疑猜想，形成模型

问题 1 ：线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出线段的对称轴吗？

线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线？

问题2 ：类比角平分线的研究方法，我们要怎样研究线段的垂直平分线？

定义——性质——判定——应用追问：线段的垂直平分线定义是什么？

[ 设计意图 ] 类比角的平分线的学习方法，得到线段垂直平分线的研究路径，让学生体会平面几何图形研究方法的一致性。

问题3 ：从本质上看，线段的垂直平分线研究的是什么？

[ 设计意图 ] 用问题引领，让学生根据已有的知识，探寻问题的本质：图形的本质探索就是对其要素的共同性进行研究，线段垂直平分线的主要元素为“点”，为此，线段垂直平分线的本质就是研究“点”的共同属性。用此打开学生的思维，为后续探究指明路径。问题 4 ：在线段 AB 的垂直平分线 l 上任取一些点 P 1，P2，P3，…， 分别比较 P₁ ， P2，P_3， …，到点A，B 的距离，你有什么发现？

追问 1 ：连接 P1 A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B，…，有哪些相等的线段？

P A=P B，P A=P B， P₃A=P₃B. ，….

追问 2 ：由这些相等的线段，你发现了什追问 3 ：你用的是哪一种方法比较线段的长短呢？

1．度量法： 2．叠合法： 3．几何画板动态演示：

师生活动：学生动手操作，独立思考后合作交流，分组展示，教师用集合画板进行演示——测量（用几何画板的“度量”功能，借助数据直观展示形：相等的线段，同时体现点在线段的垂直平分线上运动）、对折（用几何画板的“反射”功能演示），形成对线段垂直平分线性质的初步认识。

[ 设计意图 ] 让学生在实践操作中，经历发现、提出、分析、解决问题的过程，发展“四基”；比较线段的长短方法的展示，为后面证明线段垂直平分线的性质作铺垫，几何画板的动点演示，帮助学生理解性质的本质——轴对称，也为后续学习“集合”、“轨迹”等知识作铺垫。

环节三：合作探究，验证模型

问题1 ：由上述实践操作（测量、对折）得到的猜想，如何证明？

猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

追问 1 ：请在直线 l 上任取一点 P，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？你能用什么方法验证这个猜想吗？

师生活动：引导学生画图，把文字语言转化为几何语言，写出已知，求证及证明过程。

题设：一个点在一条线段的垂直平分线上

结论：这个点到线段的两个端点的距离相等．

已知：如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C， AC=CB ，点 P 在 l 上

求证： PA=PB ．[2]

分析：（1）当点 P 与点 C 不重合时，（2）当点P 点C 重合时，结论显然成立

线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．[2]

符号语言：

∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上

∴ PA=PB

追问 2 ：线段垂直平分线上的性质在几何证明里有什么作用？

启示： 线段垂直平分线 线段相等→等腰三角形

全等三角形

[ 设计意图 ] 在探究环节，围绕“距离相等”全方位构建几何模型，多方式、多角度进行论证展示，结合点 P 在线段垂直平分线上的任意性，让学生经历观察、操作、猜想、证明等步骤探究线段的垂直平分线的性质的过程，加深对性质的理解，体会研究几何问题的基本思路，在推理验证环节，渗透从特殊到一般、分类讨论的数学思想，实现从“合情推理”到“逻辑推理”，发展学生归纳概括、逻辑推理能力

环节四：合作探究，验证模型

问题 1 ：类比角平分线的学习方法，研究了线段垂直平分线的性质后，接下来要研究什么 ？

定义——性质——判定

问题 2 ：要判断线段的垂直平分线性质的逆命题是否成立，如何进行？

追问：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗 ？ 即如果 PA=PB，那么点 Р 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢 ？

师生活动：引导学生写出线段的垂直平分线性质的逆命题，画图，把文字语言转化为几何语言，写出已知，求证及证明过程，确定线段垂直平分线性质的逆命题是真命题，教师用几何画板进行动态演示，帮助学生理解。

题设：一个点到线段的两个端点的距离相等

结论：这个点在一条线段的垂直平分线上

已知：如图， PA=PB

求证：点 P 在线段 l 的垂直平分线上

分析：

（1）点 P 在线段 AB 上（如图）（2）点 P 在线段 AB 外（如图）

方法一：（作平分，证垂直）

取 AB 中点为点 M，连接 PM，证 PM ⊥ AB

方法二：（作垂直，证平分）

过 P 点作 PM ⊥ AB 于点 M，证 AM=BM 方法三：（作角平分线，证垂直和平分）

作∠ APB 的角平分线交 AB 于点 M，证 PM ⊥ AB， AM=BM

[ 设计意图 ] 通过“一题多解”让学生从不同的角度对命题进行论证，培养学生的发散思维和严谨的思考习惯，发展学生逻辑推理能力。

问题 3 ：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离恒相等，那么到线段两端距离相等的点是什么？

追问：请同学们思考一个问题，我们证明了点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，象这样的点我们能找到多少个？（无数个）这无数个点组成的是什么？

线段 AB 的垂直平分线可以看作是无数个到点 A 和点 B 距离相等的点的集合

线段的垂直平分线的判定

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．[2]

符号语言：

∵ PA=PB

∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上

师生活动：学生通过逆向思维进行思考，初步渗透“集合”观念，同时，让学生换一个角度对线段的垂直平分线进行“再定义”。

[ 设计意图 ] 让学生运用已有的学习经验探究线段垂直平分线性质的逆命题，在探究中加深对线段垂直平分线的理解，规范证明命题的步骤，发展学生的类比、迁移及推理能力；借助几何画板的演示，渗透“集合”、“轨迹”思想，为高中学习作铺垫，落实学段衔接。

问题 4 ：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系 ？

这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 .[

追问：你还学习过其他具有类似关系的命题吗 ？ 请举例。

[ 设计意图 ] 引导学生认识性质定理和判定定理互为逆定理，加深对互逆命题的理解。

环节五：开放思维，应用模型

[ 例 1] 如图，在△ ABC 中， AC=8 ， BC=6 ，边 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 边于点 E，连接 BE，求△ BCE 的周长

[ 分析 ] 题目中并没有直接给出 BC，BE，CE 这三条线段的长度，需要进行转换．将BE 的长度替换成 AE 的长度，此时 Δ BCE 的周长就可以转化成线段 BC 与 AC 的和

[ 设计意图 ] 让学生体会到证明两条线段相等时利用线段垂直平分线的性质比证明两个三角形全等更便捷

[ 练习 1] 如图，AD ⊥ BC，BD=DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上

AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+ BD 与 DE 有什么关系？[ 设计意图] 通过变式训练，及时巩固知识，加深对线段垂直平分线性质的理解。

[ 例 2] 如图， AB=AC ，MB=MC，直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？

[ 练习 2] 如图，AB=AC，DB=DC，点 E 在 AD 上

求证 EB=EC

[ 设计意图] 通过变式训练，及时巩固知识，加深对线段垂直平分线性质和判定的理解。

环节六：实践应用，拓展模型问题 1 ：某小区有 A ，B 两栋居民楼，位置如图所示物业公司计划在小区道路旁设置一个快递柜，为了方便两栋楼居民取件，要求快递柜到两栋楼的距离相等．快递柜应修建在什么位置？

问题 2： 若新增第三栋居民楼 C ，把三栋楼分别看作一个点，顺次连接可得△ ABC ，现要求快递 柜到三栋楼的距离都相等，此时快递柜应修建在什么位置？

[ 设计意图 ] 回归实际问题，用新知解决实际问题，加深学生对知识的理解 ， 培养学生的应用能力和创新意识

环节六：反思评价，完善模型

问题 1 ：通过本课学习，你获得了哪些知识？（可从知识、思想、方法等方面阐述）问题 2 ：本节课的研究过程是怎样的？

问题 3 ：类比角平分线的学习方法，研究了线段垂直平分线的判定后，接下来要研究什么 ？

定义——性质——判定——？

[ 设计意图 ] 通过梳理知识、思想、方法，让学生整理出基本平面图形的轴对称性的研究思路，让学生在获得基本图形研究经验的同时，学会类比迁移，形成一类图形轴对称性的研究方法。

四、教学立意与阐释

（1）注重数学思想方法的渗透：引导学生“类比”角平分线的研究方法探究出线段的垂直平分线相关内容的研究方法；借助“类比”、“从特殊到一般”等数学思想方法探究出线段的垂直平分线的性质和判定；运用“分类”的方法对问题进行分析，发展学生的思维；以线段的垂直平分线的性质和判定为明线，以线段的垂直平分线的研究方法“类比”等数学思想方法为暗线，在注重知识生成的同时兼顾了学习方法的迁移。

（2）注重对学生思维的培养：数学是思维的科学，数学育人的核心在于培养人的思维，若思维得不到发展，核心素养则无从谈起。教学中，以数学逻辑为基础，用问题启迪学生的思维，学生在学习过程中，通过对图形的研究，对性质、判定的证明，对作图的思考 ...，构建几何图形研究的“大思路”，知识的“大框架”，发展学生的思维。

（3）整体设计，关联生长：从本节课在小单元、章节、学段及整个初中数学体系的地位与作用进行设计，依托轴对称、全等三角形内容，通过类比、猜想等进行方法、知识的整体建构，以角平分线的轴对称性和研究路径作“引导”，类比迁移，自然生长，又与“集合”的知识进行关联，承上启下。通过结构化的教学方式，帮助学生形成研究思路、知识框架，通过一题多解、变式、拓展延申等架构新旧知识间的关联，形成通式通法，为后续学习夯实基础。

注明：广西教育科学“十四五”规划 2023 年度课题《大概念引领下的灵山县初中数学单元整体教学策略研究》2023C460 研究成果