数学思维结构：思维发展的要素与路径

内容概要：培养学生数学思维结构要以教材的知识结构为基础，从学生认知结构、元认知结构出发，通过数学学科实践形成学生知识内容与方法策略等方面的“微结构”或模式，达成“经验与策略的融合”。

数学教师在培养学生的数学核心素养时，总会不自觉地提到培养学生的数学思维能力，细细分析时，一般会表明要培养学生逻辑推理、问题分析、综合应用等能力，但对于教学时的细节却只是从经验的角度来概括；反映出数学教学现状，存在着重视数学解题能力轻视数学问题解决、重视数学方法训练轻视学生理论知识建构、重视试题分析轻视数学实践认知、重视数学知识与方法系统化轻视学生思维规律研究等现象，故教师的教学止步于学生感性经验积累，缺少对数学思维结构的发展措施与系统性方法。

“数学思维结构是以学习者数学知识结构为基础、以数学认知结构为思维逻辑、以元认知结构为控制的，多因素的数学思维过程的动态关联并不断生长的内部智慧系统”[1]，以分式方程应用题的检验为例，不少教师将其作为学生解题的必要步骤，在分析问题时主要是从得失分的角度说明其重要性，使教师的教学不自觉地落在应试的层面上；若从思维结构的发展角度来分析，它在学生元认知结构的培养中有着重要的意义，“检验意识”表现出元认知的调控能力，从分式方程实际应用来说有两个方面的检验，一是方程是否存在增根，另一方面是否符合实际的情况；从上述事例可以说明，教学的出发点与目标指向决定着教学的效能与培养的方向；相同的教学内容若不能从数学思维发展的角度展开，会降低数学教育的效能；那么，数学思维教学要促进学生真正理解数学内容、掌握数学问题解决方法、提升学生数学学科实践应用能力，应重视思维结构发展的教学设计与教学组织的理论与实践的研究。

一、思维发展的要素分析

埃伦‧ 纽厄尔和赫伯特‧ 西蒙的问题空间理论认为：解决问题过程一般可分为“了解问题”和“寻找解决方法”两个部分，也就是要善于将问题转化成心理表征或是以外在的方式呈现，然后能从记忆中提取相关知识、选择适当的方法与策略、适时修正问题表征、解决问题并产生新知识性问题，这一过程实质上是在问题空间（problem space）内进行搜索，从问题的一种状态移动到另一种状态，形成从问题的“起始状态”到“目标状态”的跨越，这一过程不仅仅是问题解决的过程，也是培养学生数学思维能力的过程。

因此，数学思维结构发展的要素可以分为四个部分：层次性与系统化、联想与迁移、逻辑与分析以及经验与策略的融合。“层次性与系统化”主要指教学中的数学知识结构与学生形成的认知结构，要有系统的递进关系并具有有机的组织关联；“联想与迁移”倾向于认知或经验形成的过程，要经历有意义的学习过程、产生知识与方法、形成各个“微结构”或数学模型间的联结；“逻辑与分析”是建立在认知基础上对问题路径的搜寻与获取策略的思考，它是运用经验并形成新的经验的过程，也是思维自主发展的重要途径；而数学能力的发展就是在一次次的问题解决的失败与成功中“经验与策略的融合”的过程。

1. 从知识走向认知：层次性与系统化

当数学活动中出现新的数学概念或知识时，学习者此时没有相关的理解，更没具备相应的算法式策略，那么教学过程呈现的是定义、规则、原理、例题的通解通法这一递进过程，以便构建“学生数学思维结构的初步模式或基础框架”，同时逐渐提升学生具有“依赖于问题本身的性质和内容以及个体已有的知识经验”的数学能力。概念生成的过程是学生形成数学抽象的过程，形式化地理解概念与知识，是构建认知体系的重要内容；但应注意的是理解不仅仅是懂得其内容与意义与会解决相关问题，系统化是将新知与自己原有的认知结构通过同化、顺应、重组，产生对知识内容、方法或思想层面的自主的联系，认知结构不仅有各知识内容自身的组织形式，更有各小单元内部及各单元之间的思维角度的深度理解下的关联，一题多解与多题一解是常用的教学手段。所以，数学教学要教知识与方法，也应让学生体会数学的意义。

2. 建立结构的本质是建立关联：联想与迁移

从数学学习的角度来说，“让学生自我的建构”是一个数学教学工作者长久讨论的话题，学生经历有意义的学习过程，是教师作为“先行组织者”以数学学习心理学为支撑的组织的活动的过程；数学基本思想可以归纳为：抽象、推理、模型[2]，这三者在学生学习的过程中“习得”并成为思想，需要教师的智慧与学生的感悟；而得到众多事物或知识的共同的、本质属性的思维过程，是学生数学理解形成的必要手段，从感性具体上升到理性具体，再从理性具体上升到理性一般，是学习者心智内部通过形象思维、逻辑思维和辩证思维，将数学内容内化为自己独特的心智内容，产生思维中联想的信息触发点、迁移为各小结构内与之间的自然关联。

3. 问题解决的思维内核：逻辑与分析

逻辑推理作为分折并找到解决问题路径的心智过程，实际上是对问题的分解、组合、转化，常用的推理方式为归纳推理与演绎推理，数学教师常常说由因导果、执果索因、逆向思维、回到定义等，并将之上升到数学思想方法层面；但如果仔细推敲会发现其思考问题的内在逻辑是问题解决者对相关知识与方法的联想、应用与取舍，甚至产生的“顿悟”也不过是隐性逻辑推理的心智表现。学会归纳推理使得学生，一方面能发现现实生活中的数学规律，另一方面使得学生善于形成自己独特的思维模式，总结出相应的数学模型；而学会演绎推理使得学习者能更为理智地思考问题并找寻解决问题的方法，也能使自己的心智模型合乎原理、产生问题解决的经验。

4. 数学思维能力的外显：经验与策略的融合

数学思维能力外在表现是具有快速、有效、独特地解决问题的经验，有时是解决问题的方法是“情理之中意料之外”，正如史宁中先生在《数学基本思想与教学》中所说：一个人会想问题，不是学习的结果，而是经验的积累，是学生在独立思考的过程中逐渐形成的思维习惯。将策略与经验合并研究，是为了强调元认知在其中的作用，体现对数学问题的自然反应与深思熟虑的思考。“经验可以积累并形成直觉，策略可以熟练并升华为思想，但两者融合成一种素养与对数学深刻的理解，这是一种境界与心灵的融入。”[1]

二、数学思维发展的路径

1. 把知识落实在数学学科实

当今初中数学教学常见问题是轻视学生理论知识建构，同时又忽视数学学科实践知识的生成；学科类的探究与发现只是用于公开课的展示，而在平常的教学中踏踏实实地应试教学，将学科实践流于表象上的发现或所谓“高大上”的程式化思想。学科实践活动应以学科知识为基础，设计的活动内容、过程与要求，应是以问题解决为导向，将知识与学生的认知结构的生成相关联，也就是说实践为知识的“产生式”赋以现实的意义，使得学生对知识内容的理解从感性理解进阶到理性感悟，再上升至实践运用的境界。

一般来说对于问题解决者要拥有陈述性知识和程序性知识，但其实还有一个重要结构性知识；在问题解决过程中陈述性知识是关于知识系统化与思想化的知识基础，程序性知识是关于如何做的知识，也叫策略性知识，而结构性知识是关于如何组织信息的知识，也叫图式知识。教师在组织数学活动时，应关注上述三种知识，以教材为蓝本，将教材知识内容转化为学生理性的个性化知识，是发展学生数学思维结构的基本路径。

2. 体现数学内容的内在逻辑与关联

有人说：我们的思维是从寻求的事物相类似的事物、相反的事物或者与它们相接近的事物开始进行的。“数学思维结构是一个多因素动态关联的智慧系统，其结构的重点是思维动态关联”[1] ；数学教学当然要让学生掌握数学知识与方法，但拥有解决问题的“工具”必须知道如何灵活使用“工具”，也就是培养学生理解知识内容中的关联，并生成“产生联想的机制”。

与上世纪八十年代相比较，我们会发现初中数学证明中推导符号的要求在降低，而因果关系（∵∴）随处可见，推导符号有一个优势是使得数学逻辑关系可视化，能让学生明确条件与结论的因果关系，并使得问题解决过程中的整体与部分的关系非常明确，学生在书写过程时也要首先梳理好步骤中的位置关系，对思维的要求较高。这也提醒数学教学的过程要让学生明白思维的过程，思维的可视化方法很多如用几何画板等软件将思维内容动态显示，但思维可视化不是目的，而是使教学目标指向学生对数学内容的深度理解。以因式分解为例，它属于工具型知识，一方面它与一元二次方程的解法、二次函数图像与横轴的交点、一元二次不等式等数学内容相关联，这些属于跨模型的关系，学生应理解其应用上的逻辑关系；另一方面它与整式乘法、图形的分割、任务的分配等内容，又有正向或逆向的关联，同时还涉及因式分解作为工具的特殊用途，可以上升到数学思想层面去理解。

联想作为再现性的思维，无论接近性联想、相似性联想和对比性联想，它们的本质是“追寻与它相关联的事物”，在学习过程中对数学概念、法则、定理、规律、图形、模型等内容，进行特征性研究，并将之与学生已有知识和经验构建联系，是促进学生从一个认知水平向更高认知水平发展的重要节点，也是拓展学生数学思维内容与丰富研究策略的必由之路。

3. 从模型的建构到思维结构的发展

“数学模型是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想”[2]。掌握了数学模型就是掌握了用数学的语言表述现实世界的方法，《义务教育数学课程标准（2022 版）》明确了“三会”，实际上是提出了让学生能将数学与现实之间架起桥梁，而数学模型与数学抽象、推理一起为这提供了思维功能。虽然符号化、形式化和公理化是现代数学的特征，但显而易见的是理性地把握这些思维功能有助于数学的教学，有助于学生理解数学的现实意义。

小的“模型”或是小的结构，可以固化学生对相近问题的解决思路，但在建立一定思维定势的基础上要打破这种定势，使得学生的认知水平有一个“跳跃”；在“寻找解决方法”的问题空间中，通过“正向搜索”、“反向搜索”或“跳跃搜索”配合策略的指引，本质上是促进学生善于通过充分具备的“关联”的“经验”，通过有方向的试错或确认而得到具体解决的路径与方法。

4. 体验、生成、逻辑、发展

数学的本质在于好奇、想象、逻辑与探寻，数学不是为了解题，而是为了发现问题、提出问题；作为数学学习的精神内核，要让学生“像学科专家那样思考与实践”，数学活动的设计需要遵循以下原则，才会使得数学活动成为学生数学思维结构发展的平台。

①情境- 体验性原则

从情境中来，到“形式化”中去。情境源于生活，但需要学生形成数学抽象；要让学生体验从生活到数学的过程，并能发现数学问题、生成问题表达、产生数学理解、发现数学规律、形成思维关联、产生思维经验，这样创设的数学学科实践活动才能正带给学生真实的实践体验和认知体验。

②知识- 逻辑性原则

有效的数学实践活动必然包含丰富的数学思想方法，要把确定性、结论性的数学知识（或原理），与活动过程中学生数学思维能力培养结合起来。数学活动的流程设计，需以数学学习心理特征为基础，将知识的发生、发展、提炼的过程，与教学的进程、目标任务及各具体步骤的要求相匹配，呈现出论证的逻辑与认知的逻辑特征。

③生成- 发展性原则

数学活动是以知识学习为基础展开的，但在简单或复杂的情境中，数学知识都承载着数学高阶思维的特征；分析、综合、评价和创造的认知活动贯穿于活动的始终，从理解信息层开始的数据分类与比较，到形成独立判断与规律发现，再到提出解决问题的方案的过程，需要“先行组织者”用开放性的问题链激发学习者的深度思考，有生成性问题，也有生成性认知，从而形成本源、生成、批判、创新等发展性过程。

④ 创新- 个性化原则

实践的最终目的是创造，学习的目标是认知的发展与问题解决能力的提高。数学活动的情境性、科学性、发展性应该为学习者的发现、创造服务，为了更好地让学生理解数学服务；要促使学生达成“经验与策略的融合”，又需要让学生建立对数学的感性认知；因此，在数学的教学过程中，对于数学的符号化特征要讲现实背景与现实理解，对于证明的形式化要讲直观判断，对于逻辑的公理化要讲归纳；就像“灵感”是否可以教授一样，我们可以培育产生“灵感”的土壤，促进学生形成数学直觉，从而产生高效、独特的解决问题的方法。

数学思维结构是建立在数学知识结构与数学认知结构基础上，融入元认知结构的深层次的数学理解，它是贯穿认知活动过程中的对数学问题的“目标、策略、元认知体验和任务”解决时，所产生的基于经验与策略的融合的方法与能力[1]。数学课堂教学应立足于“四基”，从数学思维结构的四个要素入手，落实数学活动的设计与路径，在活动中提升学习者在知识、方法、思维上的结构认知，从而促进学生对“数学问题- 现实问题”的深度理解。

参考文献

[1]. 姜箐羿.2025. 思维的细节：从数学认知结构到数学思维结构[M]. 上海：世界图书出版公司.

[2]. 史宁中.2019.《数学基本思想与教学》[M]. 北京：商务印书馆

[3]. 刘达 .2020. 来自上海中学数学教研转型的“实践智慧”[M]. 上海：上海教育出版社 .

[4].[ 美 ] 爱德华·E. 史密斯，斯蒂芬·M. 科斯林 .2017. 认知心理学：心智与脑 [M].北京: 教育科学出版社.

[5]. 鲍建生，周超.2009. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社.

[6].[ 英] 保罗• 欧内斯特.1998. 数学教育哲学 [M]. 齐建华，张松枝译. 上海：上海教育出版社.

[7][ 荷兰 ] 弗赖登塔尔 .1995. 数学教与学研究手册 [M]. 陈昌平等译 . 上海：上海教育出版社.

作者简介：姜箐羿（1967.12-），籍贯：江苏高邮，性别 ：男 ，最高学历：本科，研