“融赛于课”大学数学创新式教学探索

【摘要】本文以高等数学一个非常重要的概念“导数”为例，研究如何将数学建模思维方法融入数学课堂。从历史上曾经倍受关注的两个难题：瞬时速度问题和切线斜率问题出发，提炼出导数概念，导数是增量比的极限。同时使用数学建模经常使用的MATLAB软件求解导数问题。

【关键词】大学数学；课赛融合；导数；MATLAB

一、引言

公共数学是高等院校的基础学科，能够客观反映高校在应用创新人才培养中所遇到的问题。当前，在应用型高校的发展指引下，依托实验教学环境和信息化教学平台，以数学建模竞赛为驱动，从多角度研究数学教学改革途径，具有可借鉴的现实意义。本文以高等数学一个非常重要的概念“导数”为例，研究如何将数学建模思维方法融入数学课堂。

导数与微分是继函数连续性之后，函数研究的进一步深化，它是一元函数微分学的基本概念.历史上，Newton、Leibniz等数学家分别从直线运动的瞬时速度、平面曲线的切线斜率等物理、几何问题出发，给出了导数的定义.对导数的学习，是学生学习函数微分学和积分学的知识准备。因此，本节内容的教学从实际问题出发，让学生在探讨和参与中学会从具体到抽象、从特殊到一般，归纳、理解导数的概念，突出重点，同时注重教学任务的思考性和探究性。

二、教学目标

知识层面：了解导数概念的实际背景，熟练掌握导数的概念，理解导数的几

何意义，理解导函数的意义。

能力层面：从实例出发，培养学生分析问题、归纳总结的能力；透过问题的探究体会逼近思想，使学生学会用已知探求未知、从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

情感与态度层面：学习导数的概念，让学生经历知识发现、生成、发展、理解、掌握的过程；通过对导数产生的历史背景的学习，使学生养成良好的科学态度，深刻体会数学的魅力以及和其他学科之间的密切联系，激发学生对数学的学习兴趣。

三、教学流程设计

本节课以讲授法为主，启发和引导教学相结合。通过创设问题情境，引导学生分析问题，解决问题，让学生体会科学知识的形成过程，从而加深对理论深层含义的理解.

1.引例导入：瞬时速度问题、切线斜率问题

从十七世纪初科学发展面临的四大数学难题这一历史背景入手，在两个引例“变速直线运动求瞬时速度”、“曲线求切线斜率”的分析过程中，融入简单的数学历史及牛顿和莱布尼兹的工作，从而引出了本节主题“导数”。

2.知识点讲授：导数定义、几何意义、导函数

对引例的两个问题，研究方法都采用“以不变代变”、“用近似逼近精确”的分析思路通，从结果形式上归纳抽象出导数的概念。引导学生总结出求导三部曲：求增量，取比值，取极限。在对导数概念的学习过程中，重点学习三个方面：导数的定义，导数的几何意义，导函数。

3.案例应用：坦克爬坡问题

利用导数的相关知识解决物理和几何上的两个简单应用。首先通过一个例子讲解了如何求导，熟悉过程方法。后面解决案例“坦克能否爬上坡”，这是切线的斜率问题，回扣引例。

4.小结、作业、拓展

总结本节课的重点知识，在学习通发布本节课对应的作业，并引导学生思考：导函数作为函数，有什么性质？能求导吗？求导有什么意义？这是本章后面几节要学习的导数的各种应用问题。

四、教学过程组织

1.课程导入

（1）简单介绍十七世纪自然科学的发展

科学界面临的四类难题：瞬时速度问题、切线问题、最值问题、求和问题，随着问题的解决，微积分应运而生。

（2）两个引例：瞬时速度、切线斜率

导数是微积分的一个重要概念，它的产生与瞬时速度和切线问题密切相关，引导学生回顾历史上数学家们的思路历程。两个案例中教学中，分别提问如何求瞬时速度和切线斜率，引导学生主动思考。通过对两个案例的求解，发现结果的数学形式是相同的，抽象出今天讲授的数学概念——导数。

引例1. 变速直线运动的瞬时速度

MATLAB程序实现：例1和例2讲解思路做法后，引导学生使用求解导数的

diff命令求解，其中diff（f，v）函数调用，以v为自变量，对符号表达式f求一阶导数。

4.小结

历史上曾经倍受关注的两个难题：瞬时速度问题和切线斜率问题。在问题解决过程中，通过科学抽象，形成了微积分的一个重要概念——导数。导数表示的是增量比值的极限。

导数是建立在极限基础上的，极限有运算法则可遵循，导函数是否也有运算法则可遵循呢？导函数作为一个函数，是否可以继续考虑求导数呢？等等这些问题，我们将在以后继续研究。

【基金项目】湖北工业大学工程技术学院教研重点项目（基于创新能力培养的公共数学“课赛融合”教学体系研究X2023004）