一类传染病模型的建立与求解

摘要：本研究旨在建立一种具有愈后免疫性的和登革热传播模型，以探究这类传染病的传播机制、分析感染者和治愈者的情况，并预测病毒的传播趋势。我们利用历史数据反演模型的参数，并借助MATLAB工具中的指数型函数对 和登革热的感染率和移除率进行拟合，从而得出相应的拟合值。此外，本研究还从国家的干预政策和人们的防控意识出发，研究影响传染病传播的因素，为人们自我防护和政府制定政策提供数据和模型参考。通过本研究，我们希望能够为未来疫情防控工作提供科学依据和决策支持。

关键词：传播动力学；登革热；传染病模型

1引言

传染病[1-5]是对人类健康和生命构成威胁的疾病，如何有效地预防和控制这些传染病是我们所面临的共同难题。在解决实际问题时，常微分方程被广泛应用于几何学、力学、物理学、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济学等领域，它为我们提供了有效的工具和思想基础。利用常微分方程模型来描述具有愈后免疫性的传染病的传播规律[5-12]具有重要的科学意义。本研究采用实时数据，并建立恰当的数学模型来研究传染病的传播机制。通过分析各种宏观政策和措施的控制效果，我们可以找到影响传染病传播的抑制因子，为制定和优化传染病的宏观控制策略提供科学依据。通过结合实时数据和数学模型，我们可以更好地理解传染病的传播规律，并为政府制定应对策略提供科学参考。通过本研究，我们希望能够为预防和控制传染病提供科学依据，保障人类的健康和生命安全。

2准备工作

1）收集并整理广东省潮州市登革热的相关数据，包括地区分布等信息，并筛选出有效信息。

2）分析登革热的传播机制，并确定适用于这类传染病的数学模型类型。

3）确认所需使用的与求解模型相关的编程工具，对建立的模型进行量的假设和求解，分析模型的数据求解思路。

4）调查人们对登革热传染病的认知意识，查找国家相关政策，研究影响新冠和登革热发展趋势的各类因素，分析这些因素的促进程度或抑制程度。

5）分析需要解决的数据代码程序，探索多种拟合途径，寻找最佳的解决方案，求得模型最佳的拟合值。随后，将获得的拟合值代入微分方程，思考采用何种方法求解微分方程，并分析采用何种拟合手段能更好地接近真实值。

3建立登革热传染病SIR模型

3.1模型假设

1）设总人数不变K不变，t天的健康者人数为，确诊人数为，移出者（病愈人数）的人数为；

2）人的日接触率（感染率）为，移除率（治愈率）为；

3）影响疫情患者数的流通因子B=0.6（病毒携带者流通到其他地区的速度）；

4）以10天为治愈周期，假设在表中最早日期前没有感染者，且每位患者均能被治愈，不会死亡，治愈后具有免疫性。

3.2模型建立

由于总人数K不变，则有

此时可得时间内增加的感染人数为

则根据确诊人数，移出者（病愈人数）的人数，t天的健康者人数，人的日接触率（感染率），移除率（治愈率）之间的关系列出了以下方程组：

又由于远大于和，几乎是常数，所以以上方程组可简化为

易得微分方程（3）的通解为

下面用方程（3）、（4）研究登革热病情的传播。

3.3数值求解拟合

首先对所查找到的登革热数据进行预处理（利用matlab导入数据，使用plot函数画出散点图）：第一行的日期从t=1（2015年9月7日）到t=57（2015年11月19日）为止，第2行是患者数，第3行是移除数（病愈人数）。本模型所使用的数据如下：

由图1可知，由于疫情爆发，患者数在t=1（天）到t=9（天）时上升较快，大致在t=9（天）时达到高峰。由于国家及地方政府及时发布相关政策，人民防护意识日渐提高，大致在t=9（天）后逐渐下降。

由图2可知，由于疫情爆发，治疗政策尚未完善，且患者治愈需要周期，移除数（治愈数）在t=1（天）到t=10（天）变动不大，大致在t=10（天）时逐渐有患者被治愈，由于医疗水平不断提高，治愈人数日渐上升，并大致在t=20（天）时达到顶峰。由于人民防护意识日渐提高，患者数减少，大致在t=20（天）后逐渐下降。

3.4模型求解与分析

疫情期间，群众防范意识薄弱，全国各地区人流量也次日递增，政府官方及时排查并封锁各地区，但措施并不完善，部分疫情重灾区的病毒携带者流通到其他地区，致使疫情加重，感染者倍增。针对这种情况，本文将循环求解出来的流通因子B=0.6插入到一阶方程中，使本文拟合结果与真实值逼近。再者，将拟合得到的参数和代入微分方程求出登革热患者数的数据，拟合的结果与的原始数据比较，的计算值前半部分偏低，后半部分偏高，在模型构造和参数拟合等方面仍需改进。

4结语

本文通过建立有效的常微分方程求数值解模型，对该类传染病模型中的参数进行估计与拟合，预测传染病的传播趋势、疫情高潮和结束的时间。同时该模型为进一步拟建立带有抑制项的隔离时滞分数阶传染病模型做基础，研究模型的动力学行为，分析平衡点的稳定性、计算模型的基本再生数、研究 持久和灭绝的条件等，分析在具备有效隔离措施条件下对于 传播的影响。综合以上研究，分析传染病的传播机制，评估政策、措施的控制效果，优化传染病的宏观控制策略。

致谢：感谢省级创新创业项目S202110578002的资助。

参考文献：

[1]Bernoulli D， Essai dune nouvelle analyse de la mortalite causee par la petite verole et des avantages de finoculation pour laprevenir[M]. Paris： Academie Royale des Sciences 1760， 1-45.

[2]Hamer W H. Epidemic disease in england[J]. Lancet， 1906， 733-739.

[3]Ross R. The mathematics of malaria[J]. British Medical Journal， 1911， 1（2626）：1348-1349.

[4]Kermack W O， Mckendrick A G. Contributions to the mathematical theory of epidemics[J]. Royal Society of London Proceedings A， 1927， 115：700-721.

[5]Hoppensteadt F C. Mathematical theories of populations[J]. Society for Industrial and Applied Mathematics， 1975.

[6]Hethcote H W. The Mathematics of Infectious Diseases[J]. Siam Review， 2000， 42（4）：599-653.

[7]Keeling M. The implications of network structure for epidemic dynamics[J]. Theoretical Population Biology， 2005， 67（1）：1-8.

[8]Boccaletti S， Latora V， Moreno Y， et al. Complex networks： Structure and dynamics[J]. Physics Reports， 2006， 424（4）：175-308.

[9]Allen L J S， Bolker B M， Lou Y， et al. Asymptotic Profiles of the Steady States for an SIS Epidemic Patch Model[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A， 2012， 21（1）：1-20.

[10]Peng R， Liu S， Peng R. Global stability of the steady states of an SIS epidemic reaction-diffusion model[J]. Nonlinear Analysis， 2009， 71（1）：239-247.

[11]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].第五版，北京：高等教育出版社，2018.182～185

[12]马知恩，周义仓，王稳地，靳祯.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京：科学出版社，2004

致谢：本研究由广东省学科共建课题（GD22XYJ30）和大学生创新创业项目（S202110578002）资助。