随机竞争Lotka-Volterra模型保非负性数值算法研究

摘  要：本研究针对随机竞争Lotka-Volterra竞争模型，提出了一种保非负的数值算法（NPTEM），并对其截断连续数值解进行了分析。该算法通过引入截断函数和修正步骤，有效地控制了数值解的非负性，并保证了数值解的有界性。通过构造相关不等式，证明了算法的收敛性，并分析了其收敛阶。研究结果为模拟和分析该类随机生态模型提供了有效的数值工具，并为解决复杂随机生态系统问题提供了理论支撑。

关键词：Lotka-Volterra竞争模型；截断函数；NPTEM；数值模拟

中图分类号：O29    文献标识码：A

Abstract：This study proposes a non-negative preserving numerical algorithm （NPTEM） for the stochastic competitive Lotka-Volterra competition model and analyzes its truncated continuous numerical solution. By introducing a truncation function and correction steps， this algorithm effectively controls the non-negativity of the numerical solution and guarantees the boundedness of the numerical solution. Through constructing relevant inequalities， the convergence of the algorithm is proved， and its convergence order is analyzed. The research results provide an effective numerical tool for simulating and analyzing this class of stochastic ecological models and offer theoretical support for solving complex stochastic ecosystem problems.

Key words：Lotka-Volterra competitive model; truncated functions; NPTEM; Numerical simulation

0  引言

随机种群模型是描述自然界生态系统中种群之间相互作用关系的重要工具。然而，由于模型中随机噪声的扰动以及高阶非线性代数结构特性的影响，经典数值离散方法往往无法保证数值解的非负性，从而无法准确刻画种群的变化行为。因此，构造适用于随机种群模型的保正性数值算法，对于从数值离散的角度准确描绘种群模型的动力学行为具有重要意义，也是对该模型渐近性质的进一步验证。

针对随机微分方程数值解的研究已相对成熟， J.C. Mattingly等[1]最早证明了Euler-Maruyama（EM）算法在非线性随机微分方程模型中的强收敛性，奠定了随机种群模型数值解离散的基础。杨作东，姜国，张孟青[2-7]的研究聚焦于特定随机微分方程模型数值算法的构建与相关特性的探索，从不同角度丰富了随机微分方程数值解的研究内容。

在随机种群模型方面，多位学者有重要研究成果。陈山蓬[8]利用Khas'minskii定理证明了随机周期时滞Lotka - Volterra食物链系统正周期解存在等性质；干有雨，黄南添，秦剑利等、D.Q. Jiang等[9-12]也有相关成果。

尽管上述文献对随机微分方程和随机Lotka-Volterra竞争模型进行了广泛讨论，但对二维竞争种群模型的数值算法研究仍相对不足。因此，有必要针对二维竞争种群模型进行保正性数值算法研究，并给出数值解的显式表达，以填补这一研究领域的空白。

1  预备知识

6  总结

本文围绕随机种群模型中的二维竞争种群模型展开研究，重点在于构造适用于该模型的保非负性数值算法，并对其进行理论分析与数值验证。 在随机种群模型相关研究中，已有诸多学者对随机微分方程数值解和随机Lotka - Volterra竞争模型做了大量工作。然而，二维竞争种群模型的数值算法研究仍存在可深入探讨的空间。文中核心是构造NPTEM用于二维随机Lotka - Volterra竞争模型。通过定义截断函数，对模型进行时间离散化处理，进而得到NPTEM的相关表达式。 在NPTEM的性质研究上，证明了NPTEM的有界性，收敛性。并通过数值算例进行验证，对比二维随机竞争Lotka - Volterra模型在NPTEM、ODE方法和经典EM算法下的结果。结果显示NPTEM算法的数值解稳定性较好，波动范围小，在有界性方面能确保种群的保非负性与有界性，在收敛性方面比EM方法具有更快的收敛速度，能更准确地模拟模型。这表明NPTEM算法在处理此类随机模型时具有更高的可靠性和有效性，同时也为后续进一步研究和应用该算法提供了方向。

参考文献

[1]J.C. Mattingly， A.M. Stuart， D.J. Higham，Ergodicity for SDEs and approximations： locally Lipschitz vector fields and degenerate noise， Stochastic Processes and their Applications， 101（2）， 2002， 185-232.

[2]杨作东.高阶非线性常微分方程正解存在性[J].河南师范大学学报（自然科学版），1993（02）：17-20.

[3]姜国，刘富钢，陈丹.利用带有改进算子矩阵的模块脉冲函数求非线性随机微分方程数值解（英文）[J].应用数学，2023，36（04）：1059-1068.

[4]张孟青.具有年龄结构的随机合作Lotka-Volterra模型部分截取Euler-Maruyama数值算法的有界性[J].应用数学学报，2023，46（06）：865-878.

[5]YanLi，WanrongCao.ApositivitypreservingLampertitransformedEuler-MaruyamamethodforsolvingthestochasticLotka-Volterracompetitionmodel.2023.107260

[6]李焕荣.随机常微分方程的几种数值求解方法及其应用[J].重庆工商大学报（自然科学版），2021.

[7]谢晓波.几类随机微分方程与偏微分方程数值解法研究[D].内蒙古工业大学，2021.

[8]陈山蓬.随机周期时滞Lotka-Volterra食物链系统持续生存性与周期解存在性[D].四川师范大学，2022.

[9]干有雨，吴正.随机时滞Lotka-Volterra模型解的渐近估计[J].佳木斯大学学报（自然科学版），2019，37（02）：331-334.

[10]黄南添.随机Lotka-Volterra竞争模型的共存与灭绝[D].广西师范大学，2019.

[11]秦剑利，刘桂荣.具有Lévy跳的随机Lotka-Volterra互惠系统的渐近行为[J].贵州师范大学学报（自然科学版），2019，37（06）：78-82+113.

[12]D.Q. Jiang， C.Y. Ji， X.Y. Li， D. OʼRegan， Analysis of autonomous Lotka–Volterra competition systems with random perturbation， J. Math. Anal. Appl. 2012， 390： 582–595.

[13]L. Zu， D.Q. Jiang， D. O'Regan， B. Ge，Periodic solution for a non-autonomous Lotka–Volterra predator–prey model with random perturbation， J. Math. Anal. Appl.

基金项目：2024年自治区级大学生创新创业训练计划项目（S202411407084）、2024年北方民族大学大学生创新训练项目（2024-XJ-SX-015）

作者简介：楼  晓（2004-）， 男， 浙江省杭州市，大学本科，研究方向：应用数学。