高中数列问题研究综述

1 研究背景

随着高中数学学习的深入，高中数学学习的范围越来越广泛，数列就是高中数学学习的一个重要板块，同时也是高考数学的必考内容。数列是一个特殊的函数，是诸多数学思想的重要载体，它既与许多数学知识有着密切联系，比如：函数、不等式、方程等，又有着自身特殊的特征。数列问题是高考数学的基础和热点，是每年高考的必考题。高考改革在十八届三中全会的有关决定中有了明确的、全面且系统的部署，这表明所有考试在题型上的变化、难度上的变化、考试内容上的变化是必然的，高考数学也是如此。考试的内容将更加注重数学的实践性，而数列问题的考察就常常与实际应用相结合，与数列问题相关的储蓄问题、银行贷款利息问题等就在实际生活中频繁出现。综上可见，数列问题在高考中的地位不容置疑。数列问题不仅是高中数学学习的重要内容，还与高等数学学习有着千丝万缕的联系。高等数学中的数列极限、级数、离散数学、概率论的学习都需要有数列基础知识的奠基。

本课题就是考虑到数列问题在数学学习与高考中的重要性，着眼于解决高考中、教材中的数列问题而提出并进行研究的，又因现阶段高考数学多采用全国卷，故本文研究重点关注高考全国卷数列问题的解法。

1.1 国内外研究现状

近些年来，研究数列问题的解法的文献不断增多，国内外涉及数列问题的讨论热度也一直不减。

1.1.1 国外数列问题的解法探究综述

M.Przenioslo[1] 为了探究教师与学生对数列概念形成的根源，对中学学生与数学教师自己理解的数列定义进行了调查，调查发现，他们对数列的理解大多为“有序个数组成的”和“特殊的函数”两种。

Przenioslo[2] 提出了一种以“核心问题”为中心的在课堂上进行讨论的教学法，这个方法是笔者探究并讨论了高中生关于数列收敛情况的认识，并且将所得到的结果与数列极限的真正概念相结合而提出的。可见，国外高中数学的学习中已经将数列与数列极限联系到一起，学好数列知识对大学数学的学习有很大的帮助。

Tall[3] 提出数学学习向高等数学思维过渡时，早先的经验与建立在定义之上的新思想会互相干扰。所以，高中数列的学习对高等数学的数列极限的学习有较大影响。同时，Robert Pasnak[4] 在研究中说明数列的学习对数学概念的理解有重要影响，并做了实验进行验证说明。Roh^[5] 提出加强对数列极限概念的理解的好办法是尽可能认识更多的数列并且要深刻认识到不同数列的重要性。

《高中数列内容设置的国际比较》[3] 根据高中数学课程标准，将中国、英国、法国、等八个国家对数列内容的深度、知识内容的范围、知识整合情况进行了比较研究，发现中国是对数列知识内容要求最广的国家，而芬兰则是对数列内容的深度要求最深的国家。我国课标中数列内容的设置呈现“广而浅”的特点，从笔者研究的结论可见，国外的数列内容虽设置的不如我国广，但却在内容深度上超过了我们国家。从上面两篇国外数列问题研究的文献也可以看出这个结论，国外数列问题的研究并不简单停留在等差数列、等比数列相关问题，而将数列问题和极限思想等都做了联系和教学。不仅如此，我国数列内容的课标要求和高考中的考察要求相差较大，比如课标中提到的等差数列或等比数列与实际应用题相结合、用数学建模的思想将数列运用到实际问题中，这在高考数学的考察中却较少涉及。

1.1.2 国内数列问题的解法探究综述

国内研究中通常包括高中数列教学及解题研究、数列问题中各类题型的解法、数列求和策略、数列与函数等相关知识点的联系等等，也有很多研究是针对某一题型的，这些解题研究对学生了解数列提供了极大的帮助，也突破了学生的解题思维局限。

陈增武 [6] 在福建师范大学期刊《福建中学数学》中 2013 年 12期的文献提到，待定系数法和构造法是用于解决数列问题的有利方法，并且文章用例题展示的方式分析了高考数列试题的四种已知递推关系求数列通项公式的问题。这四种问题根据递推关系又可以归纳为四种类型： a_n+1⋅a_n+μ_n+1+q n +r=0 , a_n+1=μ_n+f(n) ， a_n+2=μ_n+1+q n, a_n+2=ρ_n+1+q_n+f(n) . 笔者利用待定系数法和构造法对这四种类型题目的解法进行了展示，将解题方法“高等化”但又遵循“程序”，不失“一般化”，让学生更容易接受，并且可以针对题型想到对应的解题方法。

综合起来，由于数列问题的研究牵涉到很多方面的知识点和教学内容等，所以国内关于数列问题的研究比较多，研究的角度也比较广泛且解题策略各有不同。

随着高考的变革，高考数学的命题更加注重培养学生的实践能力、逻辑思考能力，越来越多的研究偏向于用新颖、多样化的方式解决数列问题，数列问题的解题研究是很有必要的，不论是对学生数学思维的培养、数列问题的教学还是对高考备考都有现实意义。

参考文献

[1]Przenioslo. M. Conceptions of a sequence formed in secondary schools[J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,2006,37(7):805-823.

[2]Przenioslo,M.Introducing the concept of convergence o f a s e q u e n c e i n s e c o n d a r y s c h o o l [ J ] . E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n Mathematics,2005,60(1):71-93.

[3]Tall,D., ＆ Vinner,S.Concept image and concept definition in mathematics,with particular reference to limits and continuity[J].Educational Studies in Mathematics,1981,12,151-169.

[4]Robert Pasnak, Katrina Lea Schmerold, Melissa Fetterer Robinson, K. Marinka Gadzichowski, Allison M. Bock, Sarah Eva O’Brien, Julie K. Kidd & Deb A. Gallington (2016).Understanding number sequences leads to understanding mathematics concepts, The Journal of Educational Research, 109:6, 640-646.

[5]Roh,K.H.Students’images and their understanding of definitions of the limit of a sequence[J].Educational Studies in Mathematics,2008,(69):218.

[6] 陈增武 . 例析用待定系数法求几类递推数列的通项公式 [J]. 福建中学数学 , 2013, 000(012):35-37.

作者简介 : 罗思媛 (1998 一 )，女，汉族，四川内江人，江门市培英高级中学，高中数学教师，研究方向: 数学教育