问题驱动为导向，用数学的眼光去思考

在数学教学过程中，如何带领学生解决问题，就是需要教师去思考并设计如何让全班的孩子都能参与到课堂中，并有所收获。本节课是五年级下册数学广角的内容，属于解决问题的能力要求，是比较难的。在《义务教育数学课程标准（2022 版）》中第二学段目标提出，学生要能“探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性……能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”。而第三学段目标则提出，“尝试在真实情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析和解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识”，还强调“在解决问题过程中，……体验并欣赏数学美。初步养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的习惯”。这些目标都指向孩子能用数学的眼光去学着分析、探索并欣赏一类问题方法的合理性，以及如何让方法更优化，当然这缺少不了老师的引领。

基于本节课的难易程度，笔者做了一系列的教学思考与实践，力求打造一节高效课堂，下面笔者从三次教学“找次品”问题这堂课来进行简单说明。

一、次品是什么呢——打破原有认知，引起学生共鸣

这可能是学生看到课题的第一个困惑，从而望而却步，觉得本节课的难度会很高，无法激起学生探索的欲望。笔者选择通过第 1 块游戏来引入本节课的教学，让学生轻松愉快地进入到问题的探究，而且游戏与本节课略有关联，也能巧妙的将孩子带入到课堂内，逐步引起学生的兴趣，调动学生学习的主动性、积极性，使得原本有难度、似乎枯燥的解决问题课显得格外有魅力。

第 2 块生活中的片段则阐述孩子们的困惑，究竟什么是次品，原先孩子可能认为不能用的、坏掉的是次品，其实次品只是某一方面未达标，可能只是非常细微的差别，外观都与正品无差，结合实际，拉近学生与本节课的距离。

第 3 块生活片段讲述了有关次品危害的真实事件，让学生明白虽然次品小而少，表面上或者短期内似乎对我们不会有影响，任何细节都值得我们关注的，学生更要以一种严谨认真的态度去对待生活中的每一件事，也会对本节课需要探究的内容更感兴趣，投入地去探索和学习，也进一步强调了本节课的重要性和必要性，同时感受到数学与生活存在着密切联系。

1、同学们，在开始找次品之前，何老师想看看大家的眼力如何，先来玩个游戏：“大家来找茬！”。

2、生活中的次品

看来大家的眼力都不错，其实生活中存在这样的次品，它会给我们带来了不少问题，比如“大头娃娃”奶粉问题、面霜成分含量不合格问题，更严重地甚至威胁生命。

3、我们来看“次品引发的灾难”：

1986 年 1 月 28 日，美国第二架航天飞机“挑战者”号在进行飞行时发生爆炸，七名宇航员遇难，价值 12 亿美元的航天飞机化作碎片坠入大西洋，造成世界航天史上最大的悲剧。据调查，这次灾难的主要原因是由于一个不合格的零件——橡皮圈引起的。

二、摇摆天平——感受平衡与不平衡，突破教学局限性

本节课第二个困惑在于天平的使用，理解平衡与不平衡的内 在含义，考虑学具对孩子思维的局限性，笔者没有给每个孩发个天 平去感受感受，学生本身在科学课上对天平已经有所认识，基于这样的学情，在接下来的新课初步探究过程中，笔者都采用长方形横条来模拟天平的托盘，手动调节平衡状态，灵活呈现课堂上学生出现的各种表述状况，也让这一学段的孩子渗透模型化思想，由浅入深，层层递进。

例 1 先出示两个物品找次品的情况，学生会觉得可以用手掂一掂更方便，教师则需要引导学生去感受天平作为称量工具更为准确，；强调天平本身的特点： ① 两边都要放， ② 会有两种结果。而两瓶中一定会有一个是次品，这个模型比较简单，出示这个模型的目的是让孩子学习分析天平不平衡这个状态带来的结果。用横条倾斜摆放的方式，使得学生建立不平衡的简易天平模型，学习体会用图形、符号表达的方式更清晰、更加直观，这一学段的孩子初步具有一定的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力，对于这里出现的情况也是能够理解的。

为了巩固孩子对于天平不平衡的理解，教师应当让不同的学生多次进行尝试完整讲述称量过程，熟悉整个天平在找次品时的具体步骤，这个过程是整堂课的基础，也是相对较为简单的，多次试教下来，大部分孩子都能表示整个称量过程，为下面的分析、探索以及表述复杂称量过程做一个很好的辅助。

1、不平衡

出示例 1：何老师这儿有两瓶益达，其中一瓶呢，被我吃了两颗，你怎么找出这瓶吃过的益达？

（天平不平衡状态图示）

例2 顺势衔接例1 的设计，是笔者的一个巧思，让孩子们体会数学探究的灵活性和乐趣，不让课程在探索初期显得枯燥乏味。从2 个物品过渡到 3 个物品中找次品，引导孩子明白，这时候不是只有单一情况，天平还可能出现平衡的状态，让孩子们再次体验天平的称量过程，感受3 个物品称量的具体过程与2 个物品称量的区别，同样是称一次就可以找出次品，为什么 3 个物品的过程情况比刚才多了，因为我们要考虑事件的随机性，每个物品外观都一样，我们不知道拿到的是哪个，这里学生也是可以理解的，这时孩子们提出可以标号（详见下面的板书设计），初步体现优化的思想。但经历了称量后，发现无论标号不标号，似乎并没有给称量找次品带来很多便利，只是方便了表述，所以在这里笔者认为不需要进行强调。

同样，教师应该让不同的学生多次进行尝试讲述整个称量的过程，加深印象，巩固逻辑思维，教师通过移动横条来比划平衡与不平衡，建立模型，同时教师要向学生强调： ① 天平每次每边放的数量要一样多， ② 不参与称量的，剩下的都要放旁边， ③ 哪个是我们要找的次品。为下面数量较多（3 个以上）的物品里找一个次品的问题优化做铺垫。

2、平衡

出示例 2：何老师一不小心把刚才找到的那瓶益达混到了这里面，找到它，需要称几次呢？

（天平不平衡状态图示）

（天平平衡状态图示）

接下来撤掉横条模型，再叫一名学生表述过程时，将原有的天平模型抽象化，教师一步一步将所有数字如何摆放在括号里的顺序演示清楚，这点非常重要，否则在接下来孩子的练习单上仍然停留在天平称量的模型上，不会再纸上进行表征，从而引出数字表示法，潜移默化中让孩子们感受数字表示法的简洁明了，原来括号也可以作为天平，学习用这种方法表述称量过程。横线表示天平，画在数字下面，强调数字表示的是数量，并不是具体地哪一瓶，但我们都知道次品在哪一瓶的位置上，所以不标号不影响我们找到它，强调顺序的重要性。

3、模型抽象化

师：现在何老师把刚才的过程，用更简单的方式表示出来（先问），看！有3瓶益达，天平左边放1瓶，右边放1瓶，还剩1瓶。

师：这是数字表示法。板书：3（1，1，1）

例 1 和例 2 的教学目的主要在于理清学生在称量过程中天平会出现的情况，进一步理解随机事件，培养逻辑思维能力，以及如何简单地建立模型，让学生体会到数字表示法会比图示法表示过程更方便，培养学生将数学语言简洁地写出来的能力，从而能够达到模型优化的目的，便于后续研究更多物体中寻找一个次品的问题。

接下来安排环节，把新学到的数字表示法写给同桌看，进一步巩固写法。

师：谁能来说一说称的过程？

师：谁再来说一说？生说。（1、2 名同学）

师：同学们会了吗，把你称的过程和同桌一起分享。

三、优化教学语言，提高课堂效率

课堂进行到这里， 进入到了白热化阶段，让学生抓住了称量的关键步骤——先分再称。当数量变多时，分法也随之变多，所以问题就演变成了例 3，让探究更具深度。由于学生在之前已经接触过此类问题，对于“至少”是要求次数最少，“保证”需要考虑不利条件都还是清楚的，但在下面的称量过程中还是容易被忽视，教师需要及时引导。

1、分3 份（至少、保证）

师：刚才我们在两个、三个物品中找次品，称 1 次就找到了。想不想挑战难一点的？看，现在我们有8 枚牛年纪念币！

出示例 3：有 8 枚牛年纪念币，其中有一枚假纪念币（比真纪念币轻一些），至少称几次能保证找出次品？ （纪念币图）

师：“至少”是什么意思？“保证”是什么意思？生答。

语言1：剩几个，感受最终都会变成分2 堆或3 堆的情况

在学生讲述各种称法过程的一开始肯定是回答“怎么放”，不管怎么放，此时一定有一样多的两堆分别放在天平两边，有剩余时，不论剩下多少，教师应该问“剩几个”，因为剩下的都不能放在天平上，由老师转化语言：“统一放成一堆”，称为“第三堆”，、给学生优化思维提供更顺畅的路径。

语言 2：天平会怎样——次品在几个里称——怎么称——次品找到了吗

称几次

当天平第一次称时，如果平衡与不平衡都可能发生时，按上述提问模式先讲完一种情况，再重复上述模式去讲另一种情况，避免学生的思维出现断层，解决问题逻辑更清晰。在整个探究的过程中，始终让学生走在优化的道路上，引导学生体会思维模式的有序性。

以下是笔者在多次试教后，师生共同探索所有方法的片段：

师：怎么称呢？同桌之间讨论，并用数字表示法记录下来，写在练习纸上。

生 1：天平左边放 4 个，右边放 4 个。（板书 8（4，4） 师：天平会怎么样？

生：不平衡。

师：次品在几个里面称？

生：4 个。师：怎么称？

生：天平左边放 2 个，右边放 2 个。（板书 4（2，2） 师：天平会怎么样？

生：不平衡。师：次品在几个里面称？

生：2 个。师：怎么称？

生：左边放1 个，右边放1 个。师（板书2（1，1）：次品在？生：上升的那边。

师：这个方法称了几次？

生：3 次。（板书）

师：还可以怎么称？

生2：天平左边放3 个，右边放3 个。（板书8（3，3 ）

师：还剩下几个？生答。

师：那我们把它放旁边。（板书8（3，3，2）

师：会出现什么情况？

（让学生一种情况讲完再讲另一种情况。）

师：3 个和2 个的称法都已经研究过了，1 次就好。

师：称了几次？（强调最终要至少且保证找到的次数）

生：2 次（板书）

生3：天平左边放2 个，右边放2 个。（板书8（2，2 ）

师：还剩几个？。

生：4 个。（板书8（2，2，4）

师：会出现什么情况？生：不平衡或者平衡。

师：不平衡的话，次品在几个里称？

生：2 个。师：怎么称？

生：左边放1 个，右边1 个。（板书2（1，1））

生：不平衡。

师：次品找到了吗？

生：找到了。

师：这种情况称了几次？

生：2 次。（板书）

师：刚才是比较顺利的情况，那平衡的话，次品在几个里称？生：4 个。师：怎么称？

生：左边2 个，右边2 个。（ 上面已经板书过了）

生：不平衡。

师：次品在几个里面称？

生：2 个。师：怎么称？

生：左边一个，右边一个。

生：不平衡。

师：找到了吗？

生：找到了。

师：这种情况，称了几次？

生：3 次。（板书）

师：天平两边还可以各放几个？

生4：天平左边放一个，右边放一个。（板书：8（1，1）师：还剩几个？

生：有6 个。（板书：8（1，1，6）

师：会出现什么情况？

生：不平衡。（手指）师：次品在？

生：次品在其中一个中。

师：称几次？生：2 次。

师：这又是比较顺利的情况，还会出现什么情况？

生：平衡。（手指）师：次品在几个里面找？

生：次品在6 个里。师：怎么称？

生：天平的左边放3 个，右边放3 个。

（板书：8（ （3，3）

生：不平衡。

师：次品在几个里？

生：3 个。师：怎么称？

生：刚才称过了。

师：对，在那了呢。

师：称了几次？生：3 次。

（板书：8（ （ （3，3）3 （1，1，1）3 次）

思想方法的总结则需要教师引导学生，从知识的习得、思想方法的探索过程、解决问题的策略优化多个角度去思考本节课的学习，在比较中感受解决问题策略的多样性，渗透优化思想，感悟最优方案，理解怎样缩小次品所在的范围，就是一分为三，尽量平均分，然后通过练习再去巩固，加深对最优的理解和应用。

2. 尽快将次品所在的范围缩小，能优化找次品的次数师：刚才交流的方法，我们一起来整理一下。

师：哪种方法需要称的次数最少？生答。（在 8（3，3，2）的情况后面打☆，板书：至少 ）

师：我们来观察第一次称的情况，我们把次品的范围分别缩小到了几个？ 生答。（把个数圈起来）

师：你发现了什么？追问： ① 为什么次数少？ ② 观察第一次称的情况，你觉得怎样分，次品的范围会缩小到最小？生答。（板书：一分为三 尽量平均）

3、感受尽量平均分3 份

师：验证一下我们的发现，需要研究更多物品，那就来研究一下 9 枚纪念币中找这枚次品的情况吧，仍然用数字的方法记录在练习纸1（2）。

生：谁来说一说， 怎么称？生：9（3，3，3）3（1，1，1）2 次（板书）师：还有不同的方法吗？ 没有，再引导学生得出：

9（4，4，1）4（1，1，2） 3 次

9（2，2，5）5（2，2，1） 3 次

9（1，1，7）7（2，2，3）3（1，1，1） 3 次

师：你有什么发现？（引导学生说出一分为三，尽量平均。）生答。

4、运用

1、师：试一试用我们发现的方法找出 10 枚纪念币中的 1 个次品（次品较重一点）。

探索：你还想利用天平在几个物品中找次品（次品较重或较轻一点），至少称几次保证能找到次品？怎么称？

师：可能同学们还是存在疑惑，我们在来试试在 30 枚纪念币中找这枚次品呢？通过本节课的学习，你有什么收获？板书设计：

四、自我反思

随着新课程标准的不断改革，解决问题的能力在数学学习中越来越重要。我们明白，给学生提供数学思维碰撞的时间与空间，为数学思考的形成“架桥铺路”，教师应循循善诱，而不是一股脑儿地给予学生最优方案，应该通过学生“轰轰烈烈”的思辨，方能让其渗透数学思维。爱因斯坦曾经说过“教育，就是当一个人把在学校所学全部忘光之后剩下的东西”。方法可以教，但数学的眼光去思考是需要学生亲历数学活动，逐渐养成习惯的。教师应该不断进行自我提升，不断钻研，只有这样才能给学生带去高质量的思维火花，引领他们经历一趟收获满满的数学之旅。

参考文献

1、丰富教育素材，贴近学生学习——以“鸡兔同笼”问题的教学设计为例 张侨瓶 慈艳 2022.4

2、让隐形的思想方法在解决问题中“亮起来”——“数学广角——找次品”的设计与思考 姜玉玲 伏建学 2019.3

3、动静结合，“舞动”数学思考— 一道教材“※”号题的教学心得 郑维荣 2020.1