分式方程中的无解与增根

初中数学教师

在八年级上册数学分式这一章，出现增根和无解这两个概念 . 而同学们在做题时，有时候会遇到无解，有时候会遇到增根，那么无解与增根到底有怎样的区别呢？总体上来说分式方程的增根和无解是两个不同的概念，接下来我就对分式方程的增根和无解两个概念进行探讨 .

一、概念的意义不同

分式方程的增根是指解分式方程时，在去分母的过程中，方程两边都乘以了一个可以使分母为零的式子，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值 . 它是化简后整式方程的根，但不是原分式方程的根 . 分式方程的无解是无论未知数取何值，都不能使方程左右两边的值相等. 它包含着两种情况：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为 0，它是原方程的增根，从而使原方程无解 . 分式方程增根和无解有各种题型，都需要我们认真研究，下面我们对各种例题展开研究.

例1、解方程

解：方程两边都乘以 (x+5) (x-5) ，得 x+5=10

解得 x=5 ．

检验：当 x=5 时， (x+5)(x-5)=0

所以 x=5 是原方程的增根

所以原分式方程无解

因为原分式方程的最简公分母 (x+5) ，所以未知数 x 的取值范围是 x≠5 且 x≠-5 ．而在去分母后，变为一元一次方程，未知数 x 的取值范围为全体实数．所以当求得的 x 值恰好使最简公分母为零时， x 的值就是增根本题中 Δx=5 ，恰好使最简公分母为零，所以 Δx=5 是原分式方程的增根，原方程无解

例2、解方程解：方程两边都乘以 (x-2) ，得

整理得 x=x+2

因为此方程无解，所以原分式方程无解

此方程去分母后，化为整式方程，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．因此，分式方程无解不一定就是产生增根，有可能本身就无解。也就是说，无解包括两种情况 , 增根只是其中一种 .

例 3、若方程无解，则 a=解：方程两边都乘以 (x-3) ，得 x-2=a 解这个方程，得 x=a+2

因为原方程无解，所以这个解应该是原方程的增根．即 x-3=0 ， X=3 ，所以 a+2=3 ，解得 a=1

所以当 a=1 时，原方程无解

因为同学们目前所学的分式方程都能化为一元一次方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，有可能化简后的方程会有多个根，有根使得原分式方程分母为 0，但是还有根使得原分式方程分母不为 0，以后再根据具体情况讨论.

例 4、当 m 为何值时，关于 x 的方程 m2x−2 = 会产生增根？解：方程两边都乘以 x²-9 ，得 mx-2=x-3 整理得 (m-1)x=-1 ，若原分式方程有增根，则且由 x²-9=0 得 Δx=3 或 -3 ．所以或−3，解得 3当或或时，关于 x 的方程会产生增根 .1首先去分母将分式方程转化为整式方程，然后找出使最简公分母为零的未

知数的值即为增根，最后求出原方程中所含字母的值若将此题“会产生增根”改为“无解”，则情况就不一样。例5、当 m 为何值时，关于 Δ_X 的方程无解？解：方程两边都乘以 x²-9 ，得 mx-2=x-3 整理得 (m-1)x=-1 ，因为原方程无解，所以有两种情形：（1）当 m-1=0 （即 m=1 ）时，方程 (m-1)x=-1 变为 0x=-1 ，此

方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程 (m-1)x=-1 的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式

方程无解．若原分式方程有增根，则且由 x²-9=0 得 Δx=3 或－ 3所以或 ^-3 ，解得或 4

综上所述， m=1 时，原分式方程无解．例6、分式方程有增根，求 k 的值.解：方程两边同时乘以 (x-1) ，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=k 解得 x=k-2 因为原分式方程有增根，所以 (x-1) (x+2)=0 ，得 X=1 或 -2所以 k-2=1 或 -2解得： k=0 或 3.当 k=0 时，原分式方程变为 x−1 ，， x=x-1 无解，不