浅谈数学问题解决策略

“曹冲称象”的故事大家都耳熟能详，讲述的是三国时期的军事家曹操想称得大象的重量，而在当时的条件下想要完成这件事是比较困难的。当时曹操年幼的儿子曹冲想出了这样一个注意：那就是把大象装上船，同时记下船吃水的深度，然后船上再装上相同重量的石子，这样我们只需称出石子的重量就可以知道大象的重量了。这个办法简单可行，得到了所有人的赞赏，这件事反映了年幼的曹丕拥有超人的智慧，同时也引发了我们的数学思考。这个实例体现了数学的等价转化思想。其实，生活中，我们经常会遇到这样一些陌生的、复杂的问题，那么通常要解决这些问题会有一定的困难性和挑战性，这时候就可以运用数学知识把这些困难的、复杂的问题转化成熟悉的、简单的问题，这就是数学的转化思想---“等价转化”。数学的转化思想会使复杂问题变得简单化，会给我们的生产生活带来很多便利。

接下来，我将从古希腊“将军饮马”问题说起。海伦是古希腊一位精通数学物理算理的科学家，有一天，一位远道而来的将军向他请教了这样一个问题：将军说早上我要从训练场出发要牵着马去河边饮马，然后再去马厩，每天都要重复同样的路线，请 问怎样走会使路线最短呢。海伦思考了一下，然后说，理解这个问题很简单，我们首先可以把这个问题抽象成数学问题，不妨将小河看作一条直线，训练场、饮水点、马厩看作一个点，这样从训练场到河边再到马厩的最短距离问题就转化成了数学问题中求两条线段之和最小的问题，也就把复杂问题转化成了一个数学模型。如下图所示：

接下来，我们需要拟定解决问题的计划。C 点是直线 L 上一个动点，当点C 运动到哪个位置时，线段 AC+BC 和会最小呢。首先，我们发现点 A 和点 B都在直线 L 同侧，不妨假设点 A 和点 B 不在直线 L 同侧，那么会有哪些情况出现呢，不难看出，其中一点 B 可以在直线 L 上，或者在直线异侧，这样一来，依据就是两点之间线段最短，直接连接 A、B 两点就不难确定点 C 的位置了，即将军饮马的位置。当两点在直线两侧的问题被解决时，大家或许已经发现了解决两点在同侧的问题的方案，那就是依据轴对称的有关性质，将直线同侧的两点变换成直线两侧，将复杂的问题进一步简单化。解决的方法就是：找出其中任意一个点关于直线 L 的对称点 B1，然后连接 AB1，AB1 与直线 L 的交点即为点 C 。至此，将军饮马的问题就解决了。如此，依据轴对称的关系去探究解决问题的方案，将复杂问题一步一步转化成简单问题。此时再引入“反证法”来证明一下最短距离，就会将最短距离问题的合理性赋予更确切的理论依据。即在直线 L 上任取一点 M，连接 AM、BM，不难得出 AM+BM 大于 AB1，两点之间线段最短。

接下来展示几个最短距离问题的典型实例：

最短距离——两个动点问题

如图， Δ 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是 BC 边上的中线且 AD=12 ，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则 CF+EF 的最小值为

三角形中的最短距离问题

如图，在 Δ 中，AB=AC， BC=8 ， Δ 的面积是 24，AB 的垂直平分线ED 分别交AC，AB 边于E、D 两点，若点F 为BC 边的中点，点P 在线段ED 上，则 Δ 周长的最小值为

以及平行线问题、周长最小值问题的一点两线型等。

以上路径问题的创造性解决带给了我们解决问题最优化方案，这些问题的原型都与“海伦问题”有关联，“海伦问题”系统探讨了最短距离的核心数学原理，多种变式揭示了轴对称变换在路径优化问题中的关键作用。通过建立一般化数学模型，详细分析了同侧点转化、线段和最小化的证明过程，同时还研究了包括两动点问题、平行线问题及三角形周长最小问题在内的多种变式。

此外，利用对称思想等价转化解决问题的范畴非常广泛，应用在几何图形变换中以及生活中的实际问题，比如以下几例：

正方形的边长为 1，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。

观察图形的特点，我们不难发现，图形本身是轴对称图形，而图形中的半圆、弧三角、花瓣也是轴对称图形，这样，复杂的阴影面积通过轴对称的相关知识就可以把不规则图形转化成规则图形的面积来求。通过轴对称以及等价的转化，原本复杂问题就变得简单易懂。

2.如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形。以点B为圆心、AB 的长为半径的圆与正方形 ABCD 交于 A，C 两点，连接 AF。求图中阴影部分的面积。

观察图形的特点，我们不难发现，阴影部分属于不规则图形，直接求面积比较难。而换个角度思考一下，通过三角形全等或者将 ΔCOF 绕着点 O 顺时针旋转 180 度即中心对称的方法，我们就可以把不规则图形转化成一个规则图形扇形，这样阴影部分面积就不难求出来了。旋转过程中也用到了中心对称的思想方法，可以使复杂问题简单化。

3.（1） 有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜的策略是什么？

（2） 如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么？

问题 1 的解决方案为后取者必胜策略。即无论先取者从一堆中取出多少棋子，后取者都从另一堆中取出相同数量的棋子，这样后取者必胜。而问题 2 的解决方案为先取者必胜策略。即先取者第一次从数目多的一堆中取走比邻一堆多的棋子，确保第一次取完后，剩下两堆棋子的数目相同，接下来重复问题一的解决方案。不难看出，这个取棋子的简单游戏中，也蕴藏着“对称”的策略。

4、定点 P 位于 ∠AOB 的内部，在射线 Ω_0A 和 OB 上分别确定点 M，N，使得▲PMN 的周长最小。

首先，要使 Δ PMN 的周长最小，P 点为不动点，M、N 为动点，M、N 的位置要确定。找出 P 点关于 OA 的对称点 P1，P 点关于 OB 的对称点 P2，连接P1P2，交点即为M、 N 。利用了轴对称的思想解决问题。

综上所述，在解决复杂问题时，合理利用对称性进行等价转化，会使复杂问题变得简单可行，这个等价转化的方法在代数、几何领域以及统计概率领域运用都非常广泛，它不仅展示了模型在几何图形、坐标系和实际生活中的解题价值，最终从数学教育角度培养了学生空间思维能力和运用模型“等价”转化的能力，这种策略为解决数学问题以及生活问题提供了最优方案。（谭红丽）