基于模型构建的初中数学动点问题解题技巧探究

一、模型构建在动点问题中的解题的重要性

模型构建在动点问题中的解题重要性不言而喻，尤其是在动点最值问题的探究中，其作用更为凸显。动点最值问题作为初中数学中的难点，要求学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。而模型构建正是一种有效的解题策略，它能够帮助学生将复杂的动点问题转化为直观的数学模型，从而简化解题过程。通过模型构建，学生可以更清晰地理解动点的运动轨迹和变化规律，准确地把握问题中的关键信息。同时模型构建还能够引导学生运用数学知识和方法，对动点最值问题进行深入的分析和求解。所以在动点最值问题的探究中，模型构建不仅是一种解题技巧，更是一种重要的数学思维方式。

二、初中数学动点问题解题策略与模型构建策略

（一）理解动点运动规律，构建基础模型

动点问题是初中数学的关键内容，常涉及点在几何图形上运动。以几何旋转

题目为例，在 Δ ABC 中， ∠ACB=90^∘ ， ∠ABC=30^∘ °，将Δ ABC 绕顶点 C 顺时针旋转（图 1、图 2、图 3）。旋转过程中，各点位置动态变化。在证明相关结论时，需把握旋转角 θ 以及边和角的对应关系。如证明 ΔA₁CD 是等边三角形（图 1），要利用平行线性质和旋转后角的度数不变，结合等边三角形判定条件进行。求线段EP 长度最大值时（图3），要明确E、P 为中点这一特性，分析点的运动轨迹。通过连接辅助线，依据三角形三边关系等几何性质，构建出点与线段关系的模型，从而确定 EP 取最大值时旋转角θ 的值，掌握这类动点问题的解题关键。

图1

图2

图3

（二）运用函数思想，求解最值问题

动点最值问题是初中数学的难点，常与函数思想紧密相关。以二次函数在几何图形中应用题目为例，在矩形 ABCD 中， AB=4 ，BC=6 ，E 为 BC 上动点（不与 B、C 重合），设 CE=x ， BF=y 。因为 EF ⊥ DE，借助矩形性质和三角形相似，得出 Φ_y 与 x 的函数关系式 。这是典型的二次函数，通过配方得到 。根据二次函数性质，当 x=3 时， Δy 有最大值 。在一些几何图形中，动点的位置变化往往会引起线段长度、角度大小等几何量的改变。我们可以巧妙地将这些几何量用含有变量的函数来表示，并利用函数的增减性、顶点坐标等性质来确定最值，从而有效解决动点最值问题。

（三）实战演练，提升解题能力

通过实战演练能有效提升动点最值问题的解题能力。以直角坐标系题目为例， ⨀A 圆心 A 坐标为 （-1，0），半径为 1，点 P 是直线 上的动点，过 P 作 ⨀ A 切线，切点为 Q。连接 AQ、AP，因为切线性质可知 AQ 垂直 PQ，根据勾股定理， 。由于 AQ=1 是定值，所以求 PQ 最小值就转化为求 AP 最小值。利用点到直线距离公式 ，将直线方程化为 x+4y-12=0 ，把 A（-

1，0） 代入，得出 AP 最小值为 。进而算出 PQ 最小值为。这样的练习不仅能帮助学生熟练掌握解题方法，还能有效提升他们的逻辑思维和解题能力。

图2 直角坐标系

三、实践案例

（一）几何与函数综合的最值问题

初中数学中，几何与函数综合的最值问题是一个充满挑战的领域，它融合了几何图形的性质与函数的变化规律。以矩形 ABCD与矩形 EMNH、MFGN 的结合为例，当点 M 在 EF 上移动时，两个小矩形的边长随之变化，进而影响矩形 EMNH 的面积。通过设定变量、建立模型，我们可以将几何关系转化为函数形式，得到一个关于面积 S 的二次函数。虽然根据二次函数的性质，顶点处取得最值，但在此案例中，需结合具体图形和条件进一步分析。最终发现，在特定条件下，当 MN=5 时，面积 S 达到最大值 25。这一案例展示了如何利用几何与函数关系求解最值问题，有助于提升学生的综合运用能力。

（二）几何最值问题

几何最值问题是初中数学动点问题中的难点，尤其考验学生的几何思维和解题技巧。以正方形 ABCD 中的直线 l 问题为例，要求直线 l 既满足点 D 到其距离固定，又需保证 B、C 两点到其距离相等。这需要在正方形中精准定位直线 l 的位置。利用正方形的对称特性，我们推断直线 l 要么与 BC 平行且位于其中垂线上，要么穿过 BC 的中点。结合正方形边长和已知的对角线长度，以及点 D到直线 l 的固定距离，通过几何图形的对称性和距离分析，我们发现符合条件的直线 l 共有 4 条。此案例展示了如何利用正方形的几何性质和对称性来构建模型，将复杂的直线定位问题简化为几何图形的交点和距离问题，有助于提升学生的几何理解和运用能力。

结论

模型构建在初中数学动点问题解题中具有至关重要的地位，尤其在解决动点最值问题时，其作用更加显著。通过理解动点运动规律、运用函数思想、结合几何性质以及实战演练等策略，学生可以更高效地构建解题模型，从而准确找到解题思路。实践案例表明，将几何与函数知识综合运用，以及通过图形变换构建模型，是解决动点最值问题的有效方法。这些方法不仅能提升学生的解题能力，还能培养他们的数学思维和逻辑推理能力，为未来的数学学习打下坚实的基础。

参考文献

[1] 范鑫 . 例析初中数学动点圆最值问题的常见模型及解题技巧 [J]. 现代中学生 （ 初中版 ），2024，（18）：27-28.

[2] 胡会. 初中“动点问题”解题突破策略[J]. 数理天地（ 初中版 ），2024，（17）：32-33.