高中数学函数教学中数形结合思想的渗透与思维能力培养

一、引言

数形结合思想是数学领域中极为重要的思维方法，它打破了代数与几何之间的壁垒，搭建起抽象概念与直观形象之间的桥梁。在高中数学函数教学中，函数的概念、性质、图像等内容均体现了数与形的紧密联系。随着新课程改革的推进，对学生数学思维能力的培养提出了更高要求，而数形结合思想的渗透正是培养学生抽象思维、逻辑思维和空间想象能力的重要途径。当前，部分高中函数教学中存在重知识传授、轻思想渗透的现象，学生对函数的理解停留在表面，难以灵活运用数与形的转化解决复杂问题，因此，探索有效的实施策略具有重要的现实意义。

从理论层面来看，数形结合思想的核心在于“以形助数，以数解形”，这种双向转化机制，不仅能帮助学生理解函数本质，更能培养其多角度分析问题的思维习惯。在教学实践中，数形结合思想的缺位导致学生普遍存在认知断层。以函数极值问题为例，部分学生仅能机械套用求导公式计算极值点，却难以理解导数为零的点与函数图像拐点之间的内在联系，更无法将极值概念迁移至实际应用场景。此外，面对复合函数、分段函数等复杂函数类型时，学生因缺乏图形辅助，常陷入符号运算的困境，无法构建完整的函数认知体系。这种教学现状与新课标中“提升数学核心素养”的要求形成鲜明反差，凸显出数形结合思想渗透的紧迫性与必要性。

二、实施策略

在高中数学函数教学中，数形结合思想的渗透需遵循学生的认知规律，结合函数知识的特点，分步骤、有层次地开展。通过引导学生感知、转化、应用和拓展数与形的联系，逐步培养其思维能力。

（一）搭建数与形的关联桥梁

在函数教学初始阶段，应注重引导学生认识数与形的对应关系，为数形结合思想的渗透搭建基础。教学中，可从简单的基本函数入手，如一次函数、二次函数等，先让学生通过计算得出函数的若干组对应值，再指导学生在平面直角坐标系中准确描点、连线，得到函数的图像。在这一过程中，要求学生观察函数表达式中系数的变化如何影响图像的位置和形状，例如二次函数 y=ax²+bx+c 中，a 的正负决定了抛物线的开口方向，顶点坐标的数值与图像的最高点或最低点相对应。同时，结合图像引导学生分析函数的定义域、值域、单调性等性质，让学生直观感受到“数”的变化会在“形”上得到体现，“形”的特征也能反映“数”的规律。通过反复操作和观察，使学生在头脑中建立起函数表达式与图像之间的初步关联，为后续的深入学习积累感性经验。

（二）引导数与形的灵活转化

当学生对函数的数与形有了初步认识后，需进一步引导他们掌握数与形的转化方法，提高转化的灵活性。教学中，可设计一些需要交替运用数与形来解决的问题，例如给出函数图像，让学生根据图像的特征写出函数的表达式；或者给出函数表达式，让学生绘制图像并解决与函数性质相关的问题。在解决问题的过程中，强调转化的依据和步骤，如根据函数的奇偶性，可利用图像的对称性简化作图过程；根据函数的单调性，可通过比较函数值的大小来判断自变量的取值范围。

同时，针对学生在转化过程中容易出现的错误，如忽略定义域对图像的限制、误解图像与坐标轴交点的数值意义等，进行针对性的讲解和纠正。通过大量的练习和反思，让学生逐渐掌握“以数解形”和“以形助数”的技巧，能够根据问题的特点自主选择合适的转化方向，将复杂的问题转化为易于理解和解决的形式。

（三）强化数与形的综合应用

在学生掌握了数与形的转化方法后，应着重强化其在复杂问题中的综合应用能力，提升思维的深刻性。教学中，可引入一些综合性的函数问题，如函数与方程、函数与不等式的结合问题，让学生运用数形结合思想分析问题的本质。例如，在解决方程 f(x)=g(x) 的解的个数问题时，引导学生将其转化为函数 y=f(x) 与 y=g(x) 图像交点的个数问题，通过绘制两个函数的图像，观察交点的数量和位置，得出方程解的情况。在分析函数的最值问题时，结合函数图像的顶点、端点等特征，结合函数的单调性，通过计算和图像观察相结合的方式确定最值。在这一过程中，鼓励学生多角度思考，尝试不同的数形结合方式，比较各种方法的优劣，选择最优解决方案。同时，引导学生总结常见问题的数形结合解题模式，如恒成立问题可转化为函数图像的位置关系问题，使学生在解决类似问题时能够快速找到思路，提高解题效率。

（四）拓展数与形的应用维度

为了进一步提升学生的思维能力，需拓展数形结合思想的应用维度，培养其创新意识和实践能力。教学中，可结合生活实际中的函数问题，如运动轨迹、经济增长等，引导学生运用数形结合思想进行分析和解决。例如，在研究物体的匀变速直线运动时，可将位移与时间的关系表示为二次函数，通过函数图像分析物体的运动状态，计算速度、加速度等物理量。此外，还可借助信息技术手段，如几何画板、函数绘图软件等，让学生动态地观察函数图像的变化过程，探究参数变化对函数性质的影响，从而更深入地理解数与形的内在联系。通过将数形结合思想应用于不同的领域和场景，让学生认识到其广泛的实用性，激发其学习和运用的积极性，进一步提升其数学思维的灵活性和创新性。

三、结语

数形结合思想在高中数学函数教学中的渗透，是一个循序渐进、不断深化的过程。通过搭建关联桥梁、引导灵活转化、强化综合应用和拓展应用维度等步骤，能够帮助学生逐步建立数与形的有机联系，提升其数学思维能力。这不仅有助于学生更好地掌握函数知识，更能为其今后的数学学习和问题解决奠定坚实的思想基础，培养其用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析问题的素养，真正实现数学教育的育人价值。

参考文献

[1] 李明 . 高中数学教学中数形结合思想的应用研究 [J]. 数学教学通讯，2024(3):45-48.

[2] 王芳 . 函数教学中培养学生数形结合能力的策略 [J]. 中学数学月刊，2024(5):18-21.

[3] 张强 . 基于核心素养的高中函数数形结合教学实践 [J]. 数理化学习，2024(2):32-35.