定积分的概念教学思路的优化

【摘要】  定积分是高等数学中一个非常重要的概念，其思想是高等数学中的重要思想，是高等数学的灵魂。用以解决一元函数面积、体积、弧长，也可以用以二元函数求得引力、转动惯量、重心等问题。

关键词  定积分；教学设计；优化；

本论文深入课堂，面对实际学员，从以下几个方面进行优化设计

一、教学目标设定

知识目标：能够利用“大化小、常代变、近似和、取极限”四个步骤，归纳出定积分的概念；学生能够利用定积分的概念完成相关题目的计算。

能力目标：探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学抽象能力和辨证思维能力。分析解决实际案例问题，培养学生的数学建模能力。

素质目标：体验极限数学思想与古代数学家刘徽的“割圆术”数学文化熏陶，增强学生的民族自豪感和文化自信。

二、教学对象分析

教学对象是本科一年级学员。

知识储备：前期已经学习过极限的相关知识，不定积分及其计算方法。具备初步利用数学知识分析解决问题的能力。

认知特点：在上大学之前，学员稳定的、有限的、静止的思维模式占据了他们思维的大部分空间，形成了以常量数学为对象的思维定势。对定积分有直观的认识，但很难用极限这个工具去刻画定积分的概念。

学习态度：有进一步探究知识的求知欲，但部分学员有畏难情绪，缺乏学习积极性和主动性。

三、教学内容选取

内容取自同济大学第八版教材《高等数学》第五章第一节。定积分的概念是用极限研究的一个概念。

本节课的教学内容有定积分的概念、定积分的性质。利用“大化小、常代变、近似和、取极限”四个步骤，归纳出定积分的概念为教学重点；理解定积分的概念，“无限逼近”思想的形成过程为教学难点。

四、教法设计

通过创设问题情景引入新课，激发学生的学习兴趣，引导学生通过“割圆术”回顾从 “多边形面积”无限逼近“圆面积”的方法，并结合PPT动画展示“小矩形面积和”无限接近“曲边梯形面积”的过程，化抽象理解为直观演示，使抽象概念形象化。

五、教学过程活动优化设计和常见问题及解决方法

具体实施中，着重介绍针对学员出现的常见错误，给出相应的解决办法。

常见问题1：学员学习积极性不高

解决方法：通过引例让大家思考展示图片，引导学生思考如何计算一片湖的面积？

常见问题2：对抛出的问题感兴趣，但不知道如何下手？解决方法：我们

通过用直线把湖划分，发现湖的占地面积问题最终转化为小的不规则图形的面积。求湖周边的不规则图形的面积就是我们重点讲解的曲边梯形的面积。从而引出新课。

常见问题3：对求曲边梯形的面积理解方法，但是不能理解其实质含义？

解决方法：教材采用两个经典例子是“曲边梯形的面积”，“变速直线运动的路程”，两者相比曲边梯形的面积更为直观，学生更容易理解，所以在教学内容设计上更注重详细讲曲边梯形的面积，总结归纳出求解曲边梯形的方法步骤，强调结果的形式是一个“乘积和式的极限”。对于“变速直线运动的路程”问题，以教师启发为主，学生类比分析得出结果，让学生体会“分割、近似、求和、取极限”的方法步骤，感受“以直代曲、无限逼近”的数学思想。分组讨论两个引例的共同点，归纳总结定积分的概念。

提出问题 师：请同学们对求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个实例的四个步骤对比分析，找出共同点．

活动设计：先学生独立思考，再分小组讨论、交流．

生1：二者都是通过四个步骤———分割、近似代替、求和、取极限来解决问题．

生 2：解决这两个问题的思想方法是相同的，都采用了“逼近”的思想．

师：类似的问题都可以通过这种方法来解决，而且最终结果都可以归结为这种类型的和式的极限．

问题迁移 师：你能不能类似地将在区间[a，b]上连续函数 最终结果归结为这种类型的和式的极限？

定积分的概念这节课目标在于让学生在研究曲边梯形的面积和变速直线运动路程的基础上，通过概括他们的共同特征，了解定积分的概念，借助几何直观体会定积分的基本思想，掌握定积分的几何意义，并能根据定积分的定义求简单的定积分，

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].第八版.北京：高等教育出版社，2023.

[2]沈彩霞.基于BOPPPS模式的《微积分》微课教学设计-以定积分为例[J].山西青年，2023.