提炼数学问题 促进深度学习

课程改革以来，随着实践探索的深入，新授课的教学内容和形式产生了很多变化，对于数学练习课，需明确不是简单的知识累加，更有拓展延伸。学生探究并理解长方形及正方形面积的计算公式，然而在解决本单元的拓展练习时却常常觉得困难，以下，我将以“长方形与正方形面积”拓展练习课程的教学实践为例，分享个人的教学体会与反思。

一、课堂实践

1．复习旧知 自主建构

（1）测量长方形与正方形的周长及其面积大小

例 1 ：在生活中选取一个长方形或正方形实例，并对其边长进行整数值的测量，进而计算出其面积与周长。

学生经历测量、选定单位、执行计算等一系列步骤，这一过程旨在培育学生的实践操作技能，并帮助他们初步构建起几何概念框架。

（2）梳理计算过程，绘制对比表格

通过对比使学生明确：周长和面积所指的测量方法相同，但概念、计算公式以及计量单位均不一样，如表1 所示。[1]

2. 练习对比 发现提炼

（1）计算不规则图形的周长和面积。

例2 ：求出下列图形（图1）阴影部分的面积和周长。

学生需计算图形中阴影部分的周长，通过“平移”策略，发现该阴影部分的周长等同于原长方形的周长，随后利用周长计算公式求得原长方形的周长。至于面积计算，则首先计算出原大长方形的总面积，再从中减去小长方形的面积。

（2）归纳从长方形的边缘中去掉一个长方形（正方形类似），面积和周长如何变化。

学生通过测量和计算等过程，得出：从长方形的边缘中去掉一个长方形，长方形的面积减少，图 2 周长增加；图 3 周长不变；图 4 周长减少。数学知识的学习总是从零散到系统的过程, 这个过程需要借助辨析、观察、概括与整理等活动。[2]

3．梳理辨析 以例悟道

（1）探究当长方形的周长一定时，面积可能是多少。

例 3 ：利用 16 根各长 1 米的木条来构建一个长方形或正方形，并记录下所构成每个形状的长、宽以及面积数据。

分析题意可知，根据提供的 16 根 ¹ 米木条这一条件，我们可以推断出构建出的长方形或正方形的周长为 16 米，同时其长和宽的尺寸均为整数米。

由周长公式：（长＋宽） ×2=24 （米） 得出：长＋宽 ⁼⁸ （米）

为了保证不重复不遗漏，我们从宽度为 ¹ 米的情况开始列举：若宽为1 米，则相应的长度为 ⁷ 米；若宽增至 2 米，长度则对应减少至 6 米；宽度为 3 米时，长度为 5 米；当宽度达到 4 米时，长度也为 4 米，此时形状为正方形；若宽度继续增加至 5 米，则长度缩减为 3 米。重复了，所以后面就没有了。

为了便于观察，我们还指导学生制定了表格。

（2）探究当长方形的面积一定时，周长可能是多少。

例 4 ：利用 16 个边长为 1 厘米的正方形，拼合成不同的长方形或正方形形状，并记录下每种形状的长、宽以及对应的周长。

分析题意：根据条件，即使用 16 个边长为 1 厘米的正方形，我们可以得知所构成的长方形或正方形的面积为 16 平方厘米，同时其长和宽的尺寸均为整数厘米。

由面积公式得出：长 × 宽 =16 （平方厘米）

为了便于观察，学生学会制定表格，如表3 所示（3）观察对比 问题升华

教师提问的艺术在于引发学生思考，而不是简单的问题提出与解决过程，课堂上通过设疑：“仔细观察上述解题过程中，你有什么发现？”例 3和例4 两题的设计、综合性、开放性都很强，学生梳理题干中的已知条件，仔细分析，将已知条件转化成解题所需的必要条件，知道可以用“有序思考”的解题技巧来确定长方形的长和宽 , 从而得出以下规律：“在长方形周长相同的情况下，其面积可能并不相等；而当面积相等时，周长也可能不同。进一步观察发现，若周长固定，长和宽的数值越接近，则面积越大；反之，在面积相同的情况下，长和宽的数值越接近，周长则越小。”进而得出一般规律：“当两个数的和相等时，这两个数越接近，积越大；当两个数的积相等时，这两个数越接近，和越小”。

二、课后思考

设计练习课时，教师需要展现出比教授新课时更为深入的分析与理解教材的能力。针对本节的练习课设计而言，对学生掌握本单元基本知识、建立认知结构起着至关紧要的作用。本节课我们设计了 4 道例题 , 均将周长面积的计算也纳入其中对比，层层递进，有探索、有对比、有总结。在探究“面积不变，周长变以及周长不变，面积变”这一过程中进一步体会了周长与面积的联系和区别 , 既发展了学生空间几何观念 , 又有效促进了学生数学思维的提升。[3]