指数函数的图象和性质教学设计

一、教学背景分析

（一）教材特色分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学》，课本在形式上改进了前一套教材中的相应版块，增设了新的“信息技术应用”材料和内容，便于让数学的教与学贴近生活、贴近现实，增强学以致用、强化体验等新课程理念，顺应 AI 时代教育的要求．我今天选讲的是人教 AA 版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数中的《4.2.2 指数函数的图象和性质》，并把课本 120 页的信息技术应用融入课堂当中。

（二）内容分析

指数函数是高中学生在学习了函数概念，函数性质及幂函数后又接触的一种新类型的函数，指数函数以及后面要学习的对数函数都是高考的热点。本节内容在指数函数定义讲解之后讲解，指数函数的图象是讨论它的性质的重要载体。借助 AI 技术强大的作图和分析功能，及其对函数图象能进行直接操作的优越性。例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素，局部放大等，可以使我们方便地观察函数的整体变化情况。同时还能对其中的细节进行考察，这样就可以从函数图象的变化中获得大量关于函数特点的信息，显然，这对学生归纳总结指数函数的性质有极大的好处。

本节课用 AI 技术让学生亲自操作画图，通过改变底数 a 的值获得多个指数函数的图象，方便学生多次体会什么样的两个指数函数关于y 轴对称，从而可以用对称关系画图象。用 GGB 作图改变让学生体会到底数a 取任何数时，都具有这样的性质，从而总结出指数函数的性质。

（三）学情分析

学生在学习指数函数的概念后，对于指数函数还是比较陌生，对指数函数的图象更是没有感知，让学生用列表描点画图，只能画出少数图象，而且费时较长，对总结指数函数的性质还有点困难，因此有必要设计一节数学 AI 实验课，让学生在实验的过程中对数学产生兴趣，并完成对指数函数的图象和性质的探索。

传统的教学中，由于信息技术条件的限制，通常在教师的要求下，学生用“描点法”做出有限的几个特殊函数的图象，然后就让学生观察这几个图像来讨论指数函数的性质。这样的教学过程中，学生对于为什么要画这几个函数的图象，为什么有限的几个函数就可以代表一般的函数图象，为什么要把底数 a 分为 0 < a <1和a >1这样两类等，都是不得而知的。为了使学生能够主动研究指数函数的图象和性质，教师可以充分利用 AI 技术提供的互动环境，先引导学生随意底取 a 的值，并在同一直角坐标系内画出它们的图象，然后再通过底数a 的动态变化展示函数图像的分布情况，这样会使学生比较容易地概括函数的性质。同时，学生也喜欢用 AI 技术来解决数学问题。在老师的推荐、带动和指导下，容易激发他们的好奇心和求新欲望，甚至激发他们热衷于对数学新知识的尝试和探究的潜能。

（四）设计理念

在本节是在学习了函数的性质及幂函数后学习的。可以利用类比学习的方法，通过回想怎样研究幂函数的图象和性质，类比研究指数函数的图象和性质。但是指数函数是一种新类型的函数，在画图象解决问题时，学生对于为什么要画这几个函数的图像，为什么有限的几个函数就可以代表一般的函数图像，为什么要把底数 a 分为0< <1和 >1这样两类等问题需要探讨。GGB 是帮助我们解決这一问题的教学辅助工具。不仅是要增强学生掌握现代AI 技术的意识，也是在强化对新课程理念的导向，更是对我们教师自身学习与探究能力的挑战、检验与鞭策。

本节为 AI 技术与数学融合的一节实验课，意在以GGB 为媒介，先引导学生随意底取 a 的值，并在同一直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数 a 的动态变化展示函数图象的分布情况，这样会使学生比较容易地概括函数的性质。通过从形的角度帮助学生理解指数函数性质的形成，并培养学生用 AI 技术解决问题的能力。在教学设计上考虑了以下三点：

1. 数学学科的教学活动，是数学学科核心素养培养的主要途径。

2. 通过动画演示理解两个指数函数的对称性以及底数 a 取任何值时的图象，使学生记忆深刻，更容易理解指数函数的性质。

3.AI 技术与课堂教学的深度融合，以 AI 技术为手段实现学生直观感知数学，从而有利于数学核心素养的培养。

（五）教学方法：演示法，问题教学法，合作探究式教学法，AI 技术辅助教学法。根据本节课內容的特点，学生的认知规律，采用“合作探究”的课堂教学模式，通过观察猜想 - 验证 - 应用”合作完成本节课的探究任务。让学生自己运用 AI 技术探究指数函数的图象和性质的形成。采用合作学习模式，合理运用合作学习策略。

学习方法: 自主式、合作式、探究式教 具：AI 技术软件、黑板、多媒体课件

二、学科核心素养：

目标与素养：

1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学学科与生活的联系，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。

2. 运用描点法画指数函数的图象 , 运用图象来研究函数的性质, 达到直观想象和数学抽象核心素养学业质水平一的层次.

3. 结合实例 , 借助 GGB 动画演示，体会从一般到特殊研究问题的方法，逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.

4. 能通过数形结合, 解决定点、单调性等问题, 达到直观想象、逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次。

过程与方法：

1. 通过生活中的实例引出, 培养学生观察分析抽象概括能力，提升直观想象素养；

2. 通过借助指数函数图象来研究性质的过程 , 让学生体会研究函数的基本方法, 提升直观想象和数学抽象素养.

3. 通过对指数函数性质的研究 , 让学生学会比较大的方法 ,会解决与指数函数相关的实际问题，提升逻辑理素养.

三、教学重点难点

重点

1. 用GGB 动态展示，并用数形结合方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质

2. 指数形式的函数的图象、性质的应用.。

难点：，指数函数性质的归纳、概括及其实际应用。

教学过程：

（一）情境引入：

该图为某城市的人口呈指数增长，生（问）：人口从 80 万增长到 160 万需要多长时间？（用 AI 展示人口增长的动图，让学生感知指数的增长速度）（设计意图：用 AI 技术对学生视觉上造成冲击，让学生感知指数的爆炸性增长（单调性），为研究指数函数性质做铺垫。）

（二）、新知探究：

请同学们小组讨论观察思考：

（1）观察 y=2^x 与 的函数图像，它们有什么关系？若不用描点法，怎样由 y=2^x 的图象得到 的图象呢？

（2）我们利用 GGB 验证同学们的猜想，再把底数变成其它数是否也有这样的关系呢？（学生用 GGB 验证猜想，然后换底再进行验证）

（3）对于 y = 3x 和 y = 的图象是否也有类似的性质？通过 GGB作图可得一样的结果。

当然也可以从点对称的性角度来考虑 y=2^x 和 的对称性。因为 ，点 (x,y) 与点 (-x,y) 关于 y 轴对称，所以函数 y=2^x 上的任一点 P(x,y) 关于 y 轴对称的对称点 P₁(-x,y) 都在 的图象上，反之亦然。由此可知底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称。

（4）得到的（结论 1：）当 a > 0 且 a ≠1时，函数 y = x 与 y = (a)x的图象有何关系？关于 对称。

（设计意图：学生通过讨论，小组合作得到函数 y=2^x 与 图像的对称关系，再用 GGB 演示通过改变 a 的值，思考总结出两个指数函数图象关于 y 轴对称时其解析式的特点，并能利用轴对称性画指数函数的图象。也从点的对称性角度出发，让学生从逻辑推理的角度来理解底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称，培养学生的发散思维能力。）