“巧用类比，化难为易”

类比法是根据两个对象之间存在的某一些相同或相似的特征，以此推测另外一个对象同样具有相同或相似的一种数学思想方法。类比法在初 学教学中比较常见的 思想方法，是教学中理解数学基础知识的重要手段，同时类比法用 ， 对学 尤其是综合型的题目起到促进的作用，能有效地培养学生的创新意识和逻辑思维能力，但在现实教学中，教师和学生对利用类比法解题重视不足。笔者将借助典型例题阐述类比法在几何综合题中的应用，指导学生在解题中如何通过利用类比法化难为易，帮助学生建立良好的数学解题思维，提高学生的核心素养。

一、类比法在初中几何综合题中的应用价值分析

2023 年广东省教育厅发布了《广东省教育厅关于深化高中阶段学校考试招生制度改革的实施意见》最终确定了广东新中考改革方案，数学考试时长从90 分钟增加到120 分钟，多了半个小时的时间，不管是试卷体量、题型设置，还是计算量方面绝大程度都会有更新和变化，着重考查学生的探究能力、推理能力、创造能力的试题将成为中考的“新宠”，而几何综合题型作为这类试题中的热点，对学生能力要求和素质要求较高，学生在解答时往往会感到困难，这类型题常常以“几何演变”为载体，由特殊到一般进行拓展．学生在解题时，分解题目中的基本图形，并且牢牢抓住题目中的不变属性，通过正面与反面的类比，以及全等与相似的类比，构造辅助线的类比等等，就能准确把握问题的切入点，从而高效地寻找到问题的解决方案。

二、类比法在初中几何综合题中的应用策略

类比法是解决几何综合题型的重要思想方法，比如在解决几何综合题中可以通过类比字母、类比添加辅助线、类比解题的思路；即整体类比上一问思路，迁移解决下一问。通过对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题。几何综合题中的类比型探究题，每一问之间都会有紧密的联系，要突破后面设置的问题，必须对第一小题充分的理解和掌握，然后把前一问的解题思路和方法，迁移到下一问，达到解决问题的目的。

1、例题呈现：如图，四边形ABCD 为菱形， ∠BAC=120^∘ ，点P 在BD 所在的射线上，现在以AH 为边向侧作等边三角形AHG，点G 的位置随着点H 的而变化

（1）如图1，当点G 在 BD 上时，连接CG，BH 与CG 有什么样的关系（分别从数量和位置两方面说明）（2）当点H 在 BD 延长线上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由（证明）；（3）如图4，当点H 在BD 的延长线上时，连接GH，若 BC=20 ， BG=70 ，求四边形ADHG 的面积

2、解题思路：第一问中要求BH 与 CG 的关系，连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质，通过证明三角形全等的方法，即可证明△ABH≌△ACG，从而证得 _BH=CG ，且 .∠ACG=30^∘ ，延长 CG 交 AD 于点P，可得 ∠APC=90^∘ ，所以CG⊥AD；

第二问的解题思路和方法可以通过类比第一问的方法很容易得出解答；

第三问中要求四边形ADHG 的面积，通过观察发现四边形ADHG 不是特殊的四边形，我们可以类比以前解决不规则四边形面积的方法想到利用割补法，分成三角形ADH 和等边三角形AHG，分别求三角形ADH和等边三角形AHG 的面积，相加即可．本题的难点： 如何找到全等的三角形，根据含60°内角菱形的特点，连接AC 是解决问题的关键； 是点H 是 动点 它运动到 的延长线上时，在其运动过程中类比“手拉手”模型找到全等三角形； 求特殊的四边形的面积，要类比以 往求解不规则四边形面积时所用到的割补法，将四边形切割成两个三角形求解

图4

3、设计说明：

“手拉手”模型是指有两个等边三角形或者等腰的三角形，他们之间有一个共同的顶点，且两个三角形的顶角是相等的，这样就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，通过等边或等腰的性质即可证明两个三角形全等，像这样组成这样的图形模样的我们就说它是手拉手模型，在解决初中结合综合题型时，遇到类似这种模型的题型时，可以通过类比的解题思路和方法进行解决。

几何综合题中的动点问题关键在于探究点在线段或者在线段的延长线上的情况，紧扣点在运动过程中不变的量和探究对象之间的关系，通过研究几何基本图形，分析点的运动过程，类比从特殊再到一般来解决问题。

4、练习尝试：如图 1，已知 AD 是△ABC 的角平分线，可证 小明的证明思路是：如图2，过点C 作CE∥AB，交AD 的延长线于点E，构造相似三角形来证明

尝试证明：

（1）请参照小明提供的思路，利用图2 证明： 应用拓展：

（2）如图3，在Rt△ABC 中， ∠BAC=90^∘ ，D 是边 BC 上一点．连接AD，将△ACD 沿 AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处①若 AC=1 ， AB=2 ，求DE 的长；②若 BC=m ， ∠AED=a ，求DE 的长（用含 m，α的式子表示）

【分析】（1）证明△CED ∞ △BAD，由相似三角形的性质得出 ，证出 CE=CA ，则可得出结论；（2） ① 由折叠的性质可得出 ∠CAD=∠BAD ， CD=DE ，通过类比（1）中证明相似的方法可知， ，由勾股定理求出 ，则可求出答案；

② 由折叠的性质得出 ∠C=∠AED=a ， 则 ta ，方法类比①可求出 CD= ，则可得出答案

本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，通过类比上一问的方法和思路，迁移到下一问题的解决方法和思路，使复杂的问题简单化。

三、结语

总而言之，在解初中几何综合题中巧妙借助类比法，能够促使学生解题时积极进行类比推理，促进学生的知识迁移意识和能力，这对他们解决综合型的几何题有很大的促进作用，初中数学教师应当在教学中积极引导学生应用类比法解决数学问题，尤其是结合综合题型，引导学生在解题的过程中学会自主归纳和整理，寻找解决问题的最佳途径和方法，化难为易，帮助学生建立良好的解题思维习惯，全力提升学生的数学解题的能力。

参考文献：

[1] 郑天顺.类比法在初中数学解题中的应用[J].中学数学参考（下旬），2022（6）：21

[2] 巧妙借助类比法提高初中生数学解题能力 [J].解题技巧，2024 年4 月（上）：43