核心素养导向的“函数”单元教学设计

摘要 ：基于新课标理念及，探索“函数”大单元教、学、评一体化教学单元设计，通过解读教程内容，设定学习目标，立足系统性、整体性、结构化，解构、重构、建构，重组教学内容，实现教学通性通法，培育学生数学思维，实现数学核心素养的塑构。

关键词 ：函数大单元教学 教学评一体化 整体教学 教学设计

数学新课标2022版明确指出，课程内容组织的重点是对内容进行结构化整合。这一理念强调在教学过程中，要注重知识的内在联系和逻辑结构，将零散的数学知识整合成有序的“知识块”，形成结构化的知识体系。这种结构化整合不仅体现在数学知识体系内部，还体现在不同年级、不同领域知识之间的衔接和贯通上。单元教学的课时设计应从大处着眼、小处着手，抓住核心概念、原理及其逻辑联系，把握知识体系，通过课时教学的设计与实施，解决数学概念原理教学中出现的轻重不分、认识肤浅等问题，下面笔者立足整体观视角，就浙教版函数进行大单元统筹规划，通过解构、重构、建构等优化教学措施，尝试整体教学法，从而促进学生核心素养的塑构。其基本框架”如下图所示：

一、分析课程，确立刚需

1.细品课标

2.研读教材

浙教版对函数内容的编排是分散，遵循螺旋上升的原则。如图是初中浙教版函数的编排.

3.详析学情

浙教版原教材对《函数》编排的不足之处：断断续续的函数知识，零散、碎片化，难以成体系，学生的综合能力及应用能力难形成。学生在八上要学习《一次函数》、八下要学习《反比例函数》、九上要学习《二次函数》。如果把函数知识体系看成一片森林，每一类型函数的单节课学习看成树木，那么一个单元上下来，学生只见树木，不见森林。容易形成“散”“低”“浅”的现象，导致从一种类型的函数学习到另一类型的函数学习出现知识点及学习方法的不连贯现象，知识间出现断层、容易遗忘，增加学业负担。

二、确定主题，解构编排

通过多年的试教发现，学生的函数学习效果并不理想。究其原因，由于教学设计分割成单节（单篇），内容琐碎，功能局限。教学目标仅仅关注知识片段、孤立的训练技能，学生难以建立知识之间的关联，难以经历完整的学习过程，难以迁移应用形成素养。因此本次单元设计将《函数》作为学习主题，并解构原浙教版编排结构，重新安排学习结构，试图形成网状学习体系，形成通性通法，一以贯之，减轻学习负担。从学生的认知水平出发，精准定位《函数》的学习路径：

分块《函数》A、B单元，按照教学主题，确立概念课、探究课、项目化课、拓展课等课型进行学习。所有的课型是一个完整的整体，一以贯之地指向目标的达成。课型的设计是环环相扣，前一课型是后一课型的基础与铺垫，后一课型是前一课型的拓展与延伸。体现单元的整体性、完整性、连贯性。

三、优化设计，规划教学

3.1.立足高屋建瓴，重构教学内容。

教师应注重知识的结构和体系，处理好局部知与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。着眼学生的深入学习和长远发展，充分关注核心素养在数学教学中的整体达成情况。细节上落实到每一节，在每一个数学概念、原理及法则之间构建有效的认知结构，不断体会不同数学内容之间研究的一致性和可迁移性。基于新课标理念及学生的学习经验和学习目标，可以将函数内容分A单元和B单元，其中A单元重点研究一次函数和反比例函数，从中获得函数研究路径，主要分成四个板块内容进行整体设计，B单元以一次函数和反比例函数的研究路径类比研究二次函数。本案例研究主要设计函数A单元整体教学。

板块内容一：常量与变量及函数的概念

课时1 常量与变量：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义，能辨别某一变化过程中的常量与变量，为下节课认识函数提供知识储备，埋下伏笔。

课时2 认识函数

函数的知识必须依托于认识变量与常量。所以《第1课时 常量与变量》作为本单元的概念起始课。而一次函数、反比例函数、二次函数又是依托于函数的概念。所以本单元的设计仍然将常量与变量，认识函数作为本单元的第1课时和第2课时。函数单元的起始课，内容丰富，关联性强，对学生后续学习起着定位和导航的作用。如何拉伸知识内容生成的“长度”，拓展知识形式关联的“宽度”，夯实知识旨趣积淀的“厚度”，是本课时教学设计关注的一个重点。

板块内容二：一次函数、反比例函数、二次函数模型的建立与整体感知

课时3：一次函数、反比例函数、二次函数的概念及有关解析式求法

学生从实际情境中用数学符号表达变量间的函数关系，然后针对各种函数的表达式进行观察函数的特征，进一步辨析函数之间的区别进行分类，从而提炼出各类函数的概念，并学会用待定系数法解函数解析式。传统教材的设计是这样安排的。学习一次函数的概念和解析式的求法用了2个课时；学习反比例函数有关概念和解析式的求法用了2个课时；学习二次函数有关概念和及解析式的求法用了1个课时。其实它们之间的知识点属于平级的。在概念教学中，抓住自变量的次数这一核心点进行分类，就可以涵盖了初中所接触到所有类型的函数，而且可以向学生介绍高中要学习的幂函数和指数函数。另外用待定系数法不管求哪类函数解析式都可以抓住待定系数法的核心步骤：设、代、求、反代。可以说，通过一道题，学会一类题，一通百通。极大地提高了学生的学习效率。

板块内容三 ：探索函数的图像与性质

课时4：探索函数图象的画法

通过问题情境，教师引导学生发现函数的图象可以直观地解决一些问题。引导学生探索可以利用描点法画出函数的图象。然后师生共同用描点法画出一次函数图像并归纳最佳画图方案。依次类比，以任务的方式让学生用描点法画出反比例函数和二次函数的图像。

课时5：探索函数的性质- - -以探索一次函数、反比例函数的性质为例，并展望二次函数性质的研究路径。

通过观察一次函数的图像引导学生从增减性，分布象限方面归纳正比例函数，一次函数的性质，并通过类比正比例函数，分k>0 和k<0两种情况，从形状、位置、y随x的变化规律等多个角度归纳图像的特征与性质，并与表达式6的特点相互印证，从“数”和“形”两方面加深学生对一次函数、反比例函数的图像与性质的理解。另一方面，借助函数性质的研究路径，让学生展望二次函数性质的研究方向。

课时6：一次函数、反比例函数图像与性质的演练

巩固深度探究的成果，将一次函数（正比例函数）与反比例函数的图像做比较，综合考量，进一步提升学生综合分析、解决问题的能力；另外，加强对一次函数、反比例函数与图形的结合，形成纵横联系。

板块内容四 ：一次函数、反比例函数的应用

根据新课标要求，学生要学会函数的眼光看世界，即现实世界、科学世界和数学世界，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，形成模型观念。

课时7：用函数建模思想解决实际生活中的问题

课时8：借助函数解决路径，探究新型函数的相关性质和特征

3.2巧设学习目标

基于《课标（2022年版）》中的“学业要求提示”和对教材的整体分析，确定如下单元学习目标：

了解常量与变量的概念，体验一个过程中常量与变量相对地存在；

会从实际情境中抽象出数量关系，形成函数的概念，将知道函数的三种表示法：①解析法②列表法③图象法；

（3）会从实际情境中用数学符号表达变量间的函数关系，进一步辨析各类函数

的特征，抽象一次函数、反比例函数、二次函数的概念；

（4）会用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数的表达式；

（5）会用描点法画一次函数、反比例函数、二次函数的图像；

（6）会通过画图、识图、辨图等研究图像特征与表达式的对应，建立“形”与“数”的联系，提升几何和代数推理能力。借助图象探索一次函数的性质，并用类比的方式能准确述反比例函数图象的整体特征，初步学会展望二次函数性质的研究路径；

（7）会借助图像分析函数关系，建立数学模型，初步会用函数的思维解决简单的实际问题；

（8）体验大单元整体视角下的函数学习，帮助学生建构学习函数的一般思路和

基本经验。

3.3.融通教材内容，建构优质体系

1.把握核心，构建知识整体

由于一次函数、二次函数、反比例函数的概念必须依托于常量、变量以及函数的概念，所以在本单元的设计中，这两个课时还是按正常的课时进行。本单元的第3课时是应该属于真正意义上的大单元章起始课。教学中，将一条条分散的概念通过知识间的内在联系有机地结合起来，帮助学生从整体把握函数知识，达到知识结构的完整性，达到对相关内容进行统筹重组和优化。

比如第三课时的一次函数、二次函数、反比例函数的概念教学中，先给出了3个问题：

某厂有煤100吨，每天需要烧煤5吨，则工厂余煤量y（吨）与烧 煤天数 x（天）之间的关系式是_________

正方形的周长比12cm小x（cm），则该正方形面 积y（cm2）与x的关系式是_________

学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24平方 米的矩形饲养场．设它的一边长为x（米），则另一边的 长 y（米）与x的关系式为_________

要求学生分别写出三个函数关系式。根据学生给出的关系式

y=100-5x; ;

向学生提问观察这3个函数的表达式，你能找到函数表达式的特征有什么不同吗？

因为这三个函数表达式的形式很明显出现自变量的次数不同，然后就可以根据自变量的次数分为三种不同的函数。从而引出三种类型的函数。甚至延伸到高中的幂函数和指数函数。引导学生通过“树木”看到“森林”，又要透过“森林”看清“树木”还要借助“树木”仰视“森林”，更要依托“森林”俯瞰“树木”。达到数学知识的纵向延伸。

2.探寻共性，建构学习路径

函数的学习路径是极为相似的。学习一次函数就是按照“概念-求解析式-图象-性质-应用”的路径学习。而反比例函数、二次函数的学习路径也是如此。很多知识会出现重复和叠加。比如：待定系数法求解析式属于平行式的，每学一种函数，就安排一个课时学习用“待定系数法”求解析式，这一环节不断重复。在大单元视觉下的设计其实完全可以一步到位。这里对“待定系数法”作了以下这样设计。

出示问题：根据要求，回答问题

（1）某天的汽油单价是8元/升，请写出汽油总价y（元）与体积x（升）之 间的函数关系式.

（2）几个月后某天的汽油单价是9元/升，请写出汽油总价y（元） 与体积（升） x之 间的函数关系式.

（3）如果小张加了50升汽油，两种油价下分别花了多少钱？

提问：小张加了同样体积的汽油，花的钱不一样，是因为什么不同引起的？两个正比例函数本质的差别在在于什么？

结论：两个正比例函数的差别实质上在于系数k

若小张某一天加了40升，花了340元，请求出这一天 汽油总价y（元）

与体积x（升）之 间的函数关系式.

然后给出“待定系数法”的完整解法。

如果按照传统的教法按部就班地讲授待定系数法求解析式，学生也能就事论事做这种题目，但是学生对“待定系数法”的本质其实是模糊的，完全属于模仿造车。通过设计的三个例子，让学生充分感悟到：两个正比例函数的差别实质上在于系数k。学生体验到了这样的一种思想方法——一个函数决定与某个参数。所以有了这个基础，学生明白了求一次函数的解析式转化为只需求k，b。求反比例函数解析式只需要求k，求二次函数解析式只需要求系数a，b，c。所以大单元视觉下只要探寻到知识的共性，就可以帮助形成学习路径。同样的学习路径体现在函数的图像、函数的性质、函数的建模思想上。加强研究方法的联系，强调这种研究路径，让学生通过反复演练，逐步掌握研究过程。让学生以数学的思维方式经历知识的发生发展，既学会知识，又受到研究方法的训练，从而培养学生的思维能力，提升数学素养。函数的大单元教学，从变量之间的关系到函数，具体到一次函数、反比例函数和二次函数，体现的是“总一分”的关系。抽象形成概念一研究性质（结合图像）一函数的应用，这是学习函数的一般路径如图，如图比较形象地揭示了函数大单元教学中的“总—分—总”的关系。

3.塑构素养，凸显数学通法

大单元视觉下的学生即通过“树木”看到“森林”，又要透过“森林”看清“树木”，还要借助“树木”仰视“森林”，更要依托“森林”俯瞰“树木”。可以实现学生向高阶思维跨越，塑构数学核心素养。

在学习课时5，探索函数的性质--以探索一次函数、反比例函数的性质为例，

展望二次函数性质的研究路径。笔者进行了这样的设计并进行了教学实践（图1）。

问题1：请判断表1表2所表示的函数哪个是一次函数？

学生因为已经学习了课时4的内容《探索函数图象的画法》，顺利地用用描点法画出了两个函数的图形。课时3的内容，判断出了表1表示的是一次函数，表2表示的是二次函数。

再给出问题2：你能求出该一次函数的解析式吗？复习了待定系数法。

然后给出问题3：你能预测该函数 y=2x-8的变化趋势吗？学生可以借助表格中的数的变化规律，也可以借助图象的变化趋势，从而为后面的增加型埋下伏笔。继续追问问题4：此时k=2，b=-8，你觉得是函数解析式里的哪个系数的值决定了函数的增减性？学生可以通过直觉进行猜想k或b的值或者两者都要可能，然后教师让学生用自己喜欢的方法作出函数图象y=2x+4。教师进行总结：可以用两点法，也可以用平移的方法。师生共同发现此时y=2x+4的变化趋势也是y随着x的增大而增大。跟y=2x-8相比，b的值由负变为正，而k的没有改变，因此决定y随着x的增大而增大的系数是k的值。从而得出k＞0，y随着x的增大而增大，而学生也体验到了b决定的是一次函数图象与y轴交点的位置。因此当教师提出问题8：你能快速判断函数y=9x+2会经过什么象限？y=9x-2？学生都能顺利解决。本环节，非常高效地解决了k，b的值决定了有关一次函数的有关特性。

有了一次函数的探索路径，犹如让学生从“树木”看到“森林”。反比例函数图象与性质就可以就在一次函数的探索路径下有条不紊地产生（如图2，图3），真正感受到了数学通法塑构了学生的素养

再比如第8课时，可以设计“探究新函数”的课时。

问题1：在同一平面坐标系内画出三个函数的图像，观察三个图像的形状、位置关系，推测反比例函数图像平移的规律。

问题2：试判断方程的解的情况

问题3：如何研究函数（k≠0）的性质？

问题4：欲建一个容积恒定为12 m3，底面为正方形的长方体蓄水池. 设底面正方形的边长为 x （m），蓄水池的深度为 y （m）.

（1）求 y 关于 x 的函数解析式；

（2）随着正方形边长 x 的增大，深度 y 怎样变化？

（3）若要求蓄水池深度不超过 3 m，则正方形边长至少为多少 m？

学习本质是经验在深度和广度上的持续变化，即个体在原有的基础上，通过自主探究形成新经验。通过层层设问，步步推进，在整体思路和方法指引下，引导学生建构体系，有效迁移，应用获得的函数的核心思想方法解决新情境中的“新型函数”的相关知识，实现高阶思维的发展。

四、多元评价，塑构素养

发挥评价的育人导向作用，坚持以评促学、以评促教。2022新课程课标要求：评价不仅要关注学生数学学习结果，还要关注学生数学学习过程，激励学生学习，改进教师教学。通过学业质量标准的构建，融合“四基”、“四能”和核心素养的主要表现，形成阶段性评价的主要依据。采用多元的评价主体和多样的评价方式，鼓励学生自我监控学习的过程和结果。定性定量结合，过程性终结性结合，建构多元多维评价体系，塑构数学核心素养。

1.学前预评估 新课之前，设计预学案，通过前侧了解学生的认知水平，从而确定学习主题及学习目标；如：

2.课中定量诊断

课中设计定量诊断测试，了解学生基础知识和基本技能的掌握情况，关注“四基"“四能"达成，调整教学进度及教学策路。

3.形成性评价

评价结果的呈现应更多地关注学生的进步，关注学生已有的学业水平与提升空间，为后续的教学提供参考。评价结果的运用应有利于增强学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，使学生养成良好的学习习惯，促进学生核心素养的发展。

4.项目作业：检测学生独立思考的习惯和合作交流的意识，关注学生分析问题、解决问题的能力，发现问题、提出问题的能力。全面考核和评价学生模型意识、应用意识及创新能力等核心素养的形成和发展。

如：

布尔巴基学派曾指出：“数学并非是研究数量的，而是研究结构的科学。”教师必须真正地解读教材、理解数学，这是正常开展课堂教学的基础。教师读懂单元结构脉络，有助于从宏观上把握屋教材的编写思路，有利于从中观上理解每课时的目标要求，有利于微观上理解每个知识的来龙去脉。通过针对函数内容的大单元设计，探寻学习的相通路径，从纵深的链式，横向的网状，不断让学生形成知识体系，帮助学生积累数学学习活动经验，提升数学素养。

参考文献：

[1]蒋梅.单元整体视角下的章起始课教学试卷与思考[J].中学数学参考（中旬），2022（3）：8-10

[2]余丹.构建单元整体教学 落实数学核心素养——以“反比例函数”章起始课为例[J].中学数学参考（中旬）， 2023（5）：24-27

[3] 吴仲玲 张宗余.缘由 策略 实践 展望——整体观下的函数单元教学课时设计[J].中学数学参考（中旬）， 2022（4）：5-8