“互联网 +” 背景下大学数学线上线下混合式教学模式创新探索

引言：

当下“互联网+教育”快速发展，大学数学却受传统教学单一、线上资源零散等问题制约，学生学习积极性与效果不佳。混合式教学本是突破方向，但实践中仍有节奏难控、评价滞后等问题，亟需探索创新模式，让线上线下教学深度融合，更好服务大学数学教学。

一、“互联网+”背景下大学数学教学现状与问题（一）现有线上教学的不足

大学数学线上教学尚未发挥“互联网+”优势，反而暴露诸多问题。首先是资源碎片化严重，老师推送的MOOC微积分视频、题库网站的线性代数习题、第三方平台的概率论微课分散在不同渠道，登录账号与学习进度无法同步。学生为学一个章节需在多个平台切换，找资料耗时远超学习本身，且零散资源难以串联成体系。其次是线上线下完全脱节。老师让学生线上预习“矩阵变换”视频，线下课堂却仍按固有节奏从头讲解，忽略学生标注的疑问；线下讲完复杂的“微分方程求解”后，未配套上传拆解视频，学生课后只能乱搜资源，且内容与课堂方法不符，越学越乱。最棘手的是缺乏有效监督，线上学习全靠自觉。不少学生“挂课不听课”，线上作业存在抄答案现象，老师仅能通过提交结果判断，却无法掌握真实学习状态。曾有班级线上测试平均分不低，但线下提问时，半数学生答不出“导数的几何意义”，线上学习质量难以保障。

（三）混合式教学实践中的痛点

大学数学混合式教学实践中仍有不少棘手问题。首先是教学节奏难把控，课前“微积分导数”线上预习任务，部分学生不仅完成基础内容，还能提出经济学应用的深层问题；但也有学生未看完基础视频，线上测试错题率超 60% 。线下课堂若侧重难题，基础弱学生跟不上；若反复讲基础，学有余力学生觉浪费时间，最终只能按“中等水平”推进，两边需求都难满足。其次是教师线上工具操作生疏拖后腿。有老师用直播平台时，课前半小时才发现不会分享PPT，折腾十分钟后压缩了互动环节；还有老师用互动软件答题时，因未设好时间，学生刚看题就自动收卷，打乱教学流程，严重影响学习体验。最关键的是评价体系滞后。线上积极参与、完成预习的学生，可能因期末发挥失常影响总评；而线上“挂课不学习”、靠期末突击刷题的学生，也能得不错分数。这种评价既难反映真实学习状态，也无法激励学生参与混合式教学全程。

二、“互联网 +^， 背景下大学数学混合式教学模式创新设计（一）“三段六步”教学流程设计-以高等数学“微积分”章节为例

1、课前预习阶段（线上主导）

在微积分“极限定义”章节的课前预习环节，老师会提前 3 天在学习平台上推送精心挑选的线上资源：不是完整的MOOC课程，而是截取其中 15 分钟讲解“极限直观理解”的核心片段，搭配自主制作的 3D动画——动画里用小球不断趋近桌面边缘的动态过程，帮学生理解“无限接近但不重合”的概念，最后附上10 道基础预习题，题型涵盖“判断简单极限是否存在”“计算常数列极限”等。学生需要在规定时间内看完视频，把没懂的地方比如“为什么极限定义里要强调‘任意小的正数’”写在疑问区，再完成测试提交。老师会在课前1 天查看后台数据，发现“分段函数在间断点处的极限”这道题错题率高达 65% ，“极限定义中ε与δ的关系”是高频疑问，便把这些内容定为线下课堂的重点讲解方向，避免课堂上做无用功。

2、课中深化阶段（线下主导+线上辅助）

到了线下课堂，老师不会从头讲极限定义，而是直接聚焦线上暴露的问题。先拿着学生的高频疑问“ε与δ的关系”展开，结合黑板一步步推导极限运算的基本公式，比如“两个函数和的极限等于极限的和”，推导过程中还会回头呼应线上动画里的小球案例，帮学生串联知识。讲完公式后，让学生 4 人一组，用线上的“微积分虚拟仿真实验室”工具——在电脑上输入不同函数表达式，观察当自变量趋近于某个值时，函数图像的变化趋势，验证刚才推导的极限结论，每组要把验证结果截图上传到课堂互动平台。有小组发现“当函数在某点无定义时，极限仍可能存在”，老师就顺势引导全班讨论。最后，老师用线上答题器发 15 道随堂测试题，题目针对性覆盖刚才讲解的重点，学生提交后系统实时出分，老师当场把正确率低于 50% 的“复合函数极限计算”题拿出来，让做对的学生分享解题思路，现场解决问题。

3、课后拓展阶段（线上线下融合）

课后，老师会根据课堂测试数据，给学生推送个性化的线上巩固资源：针对“复合函数极限”没掌握好的学生，推送 10 分钟的专题微课，拆解“换元法求复合函数极限”的步骤；给基础好的学生额外发“极限在物理学瞬时速度计算中的应用”拓展习题。同时布置线下实践项目—让学生找生活中的不规则图形，比如家里的扇形桌布、小区的曲边花坛，用微积分里的“分割、近似、求和、取极限”思路计算面积，要求写出详细的测量过程和计算步骤，形成项目报告。一周后，学生把报告上传到线上平台，老师挑选 3 份优秀案例，在下次线下课堂展示：有学生用坐标纸分割花坛轮廓，近似计算小矩形面积求和；还有学生用手机拍照后导入绘图软件标注坐标，用定积分公式计算。展示时，学生上台讲解自己的思路，其他同学可以在线上互动区提问，比如“如何确保分割的小矩形足够小以减少误差”，形成线上线下联动的成果交流氛围。

（二）分层化教学资源设计

1、基础层资源

针对数学基础薄弱的学生，基础层资源会把复杂知识点拆解得更细致。比如线性代数讲“矩阵运算”时，会提供公式推导慢放视频——老师在视频里一步步写矩阵乘法的计算过程，每乘完一行一列就停顿3 秒，用红色标注计算结果，还会口头提醒“注意行乘列的对应顺序，不能搞反”。基础习题详解也很贴心，每道题都分步骤拆解，像 ^⋅⋅2×3 矩阵与 3×2 矩阵相乘”的习题，不仅写清第一步“第一个矩阵第一行乘第二个矩阵第一列”的计算过程，还标注容易出错的“符号问题”，比如负数相乘的结果符号怎么确定。另外，还会附带“常见错误总结”文档，把学生常犯的“矩阵加法与乘法混淆”“漏乘元素”等问题列出来，配上错误案例和正确解法，帮基础弱的学生夯实基础。

2、进阶层资源

面向中等水平学生的进阶层资源，会侧重知识的综合应用和跨学科关联。比如概率论部分，会推送综合应用题，像“某电商平台根据历史销售数据，预测双十一大促期间某商品的库存需求量，要求考虑节假日消费波动、竞品促销影响等因素”，题目里会给真实的销售数据表，让学生用概率分布模型分析。学科交叉案例也很丰富，比如“概率论在金融风险分析中的应用”案例，会讲解如何用正态分布计算股票收益率的波动范围，评估投资风险；还有“线性代数在图像压缩中的应用”，用简单的矩阵变换原理，解释手机照片如何在减小存储空间的同时保持清晰度。这些资源会引导学生把数学知识和实际场景结合，提升综合运用能力。

3、拓展层资源

给学有余力学生的拓展层资源，会偏向科研前沿和高阶应用。比如会提供近三年全国大学生数学建模竞赛的优秀论文，里面有“疫情期间区域人员流动预测”“新能源汽车充电需求优化”等真实课题，附带专家点评，分析论文中用到的数学模型（如微分方程模型、整数规划模型）的设计思路。还有“大数据分析中的数学方法”资料，讲解如何用随机森林算法处理高维数据，用贝叶斯网络进行用户行为预测，里面会推荐相关的开源工具和数据集，让学生尝试动手实践。另外，还会分享数学领域的前沿动态，比如“人工智能中的深度学习与线性代数的关联”，帮学生拓宽视野，为后续参与科研或竞赛打下基础。

三类资源的总结对比表

（三）多元化互动场景设计（如图 1）

1、线上互动

线上互动会围绕“便捷交流、互助学习”搭建场景。课程论坛里，学生遇到问题可以随时发帖，比如学微积分时卡在“不定积分换元法”，就能上传自己的解题草稿，标注不懂的步骤；老师每天固定 1 小时在线答疑，会用红色批注修改草稿，指出“换元时未同步替换微分变量”的问题，其他同学也能在帖子下补充不同的解题思路。每月还会开展1 次线上“数学解题思路分享会”，用直播形式进行——邀请解题能力强的学生当“小老师”，在镜头前讲解自己做“线性代数方程组求解”题的思路，比如“什么时候用克莱姆法则，什么时候用矩阵初等变换更简便”，直播时学生可以在评论区实时提问，“小老师”当场解答，老师则在后台补充点评，让线上互动既有针对性又有参与感。

2、线下互动

线下互动会侧重“协作探究、实践操作”。课堂上会组织“数学难题攻坚小组”，4-5 人一组，针对老师给出的难题讨论解题方法，比如“用微积分求不规则几何体的体积”，小组里基础好的学生可以分享“如何建立合适的坐标系”，基础弱的学生负责记录思路，最后每组派代表上台讲解，老师再点评补充。还会设置“数学实践工作坊”，比如让学生用MATLAB软件解决实际问题——给定某城市一周的气温数据，让小组合作用插值法绘制气温变化曲线，再预测第二天的气温，过程中老师会巡视指导，帮学生解决软件操作问题，比如“如何导入数据、如何选择合适的插值函数”，让学生在动手实践中加深对数学知识的理解。

3、跨场景互动

跨场景互动会构建“疑问解决-巩固强化”的闭环。学生在线上平台提交的复杂问题，比如“概率论中贝叶斯公式在医学诊断中的具体应用”，老师会先整理这些问题，在下次线下课堂集中研讨——先让学生分组讨论“为什么要用贝叶斯公式计算患病概率”，再由老师结合具体案例讲解公式的应用逻辑。研讨结束后，老师会把课堂上的讲解重点、学生的优秀讨论成果整理成文档，配上相关的微课视频，上传到线上平台，推送给参与讨论的学生，让他们课后可以再次回顾。比如有学生没完全理解“先验概率与后验概率的区别”，就能通过线上资料进一步学习，还能在平台上继续提问，形成“线上提疑问-线下解难题-线上再巩固”的完整互动链条。

三、结束语

大学数学混合式教学模式的创新探索，不仅针对性解决了传统教学、单纯线上教学及早期混合式教学中的问题，更通过系统化的流程设计、分层化的资源供给与多元化的互动场景，让线上线下教学真正实现“1+1>2”的效果。这种模式既让抽象的数学知识更易理解，也充分调动了学生的学习主动性，还为教师教学提供了更科学的路径。后续还需结合教学实践中的反馈，持续优化资源内容与平台功能。

参考文献：

[1] 刘西平. 信息化背景下大学数学混合式教学模式实践研究[J]. 知识窗（教师版），2024（6）：57-59.

[2] 刘西平. 信息化背景下大学数学混合式教学模式实践研究[J]. 知识窗（教师版），2024（6）：57-59.

[3] 刘莎莎." 互联网+" 背景下公共基础课程教学创新与实践[J]. 现代商贸工 业，2024，45（3）：215-217.

[4] 刘莎莎." 互联网+" 背景下公共基础课程教学创新与实践[J]. 现代商贸工 业，2024，45（3）：215-217.