浅谈职业院校高等数学课堂

一、高等数学学情，教师的同理心

数学为了更清晰聚焦到考虑对象的特定属性，为了可以涵盖更多更广的对象，也为了排除在叙述问题时的含混和不严密，导致很多数学书籍和教材的叙述对于非数专业的人士就会显得“界面很不友好”[1]，高等数学教材也不例外，特别是对于职业院校的学生来说不友好。职业院校录取分数一般来说都不高，对于本科生，高考分数只要略高于省（市）本科线就可以被录取，对于专科生，分数线会更低一些。所以，总体来说，职业院校的学生基础相对比较薄弱。就数学这一门课程来说，在高中，数学已经是所有科目中得分方差最大的科目了，号称“拉分大户”，考的好的时候超别人几十分，考的不好的时候被别人超几十分，所以很多学生很看重考运，他们认为考试时候的状态特别重要，状态好了就能考好，状态不好这次考试基本就没戏了。但是站在教师的角度来看，学生所谓的“考运”，其实更多可以归结为对数学基本功的掌握，基本功扎实了，理论上来说就不会害怕考什么内容了，即逢考必胜。职业院校的学生大部分在数学这块的基本功略显薄弱，当然也有一部分学生还是学的很不错的。对于基本功不扎实的学生来说，对接下来高等数学的学习是有一定的恐惧心理的，心理上缺乏自信，认为自己高中数学没学好，高等数学不可能学好。那么如何帮助这部分同学建立自信，实现高中数学到高等数学的良好过度，任课教师具有第一责任人身份，扮演了极其重要的角色。教师在教学前需要做好一系列准备工作，这其中很重要的一项工作就是了解生源构成，学生学习背景或许不一致，造成他们的认知面不一致。比如有些学生是本地生源有些是外地生源，高中上学用的教材版本不一致，学习内容也会有差异。教师可以提前获取学生名单，获取学生入学成绩信息，在了解学生存在学习程度差异性之后，教师应该给予情感支持，怀揣相应的同理心。

二、高等数学首课，教师的责任心

在高等院校高等数学一般开设两个学期（专科可能开设一学期），学时相对其他课程来说算是比较多的，而且上、下学期的任课教师一般不变更，这就对任课教师提出了更高的要求，要求教师在学生心目中一定要有威信。如果教师在学生面前缺乏威信，上学期结束后，下学期认真听课的学生就会少很多。如何建立教师的威信，笔者认为上好第一学期的首课特别重要。那么高数首课应该上什么，如何上好高数首课，好的首课应达到什么目标？

让学生认识你：高数老师虽不是辅导员，可能不会和学生在课后有太多的接触，但是我们可以主动去接近学生，如果学生认识你、了解你，师生间就会产生粘性，学生会更愿意听你的课，你上这个班的课也会更有动力一些，进而形成良性循环。笔者在首课刚开始时一般会先进行自我介绍，在介绍完了个人情况后，一般也会跟同学们分享自己的个人故事，我很开心同学们会主动添加我的联系方式，我也会跟学生说自己平时会在社交平台分享生活、家庭和工作中的点滴，而且这种分享的渠道会一直对同学们开放，并不会屏蔽大家。其实在进行完这些介绍之后，课堂氛围马上就能活跃起来，同学们会认为老师并不是那么高高在上，老师也是一个很普通的性情中人，老师和学生是可以亦师亦友的。譬如说，学生在校园里看到我，也会时常跟我聊天打趣，在篮球场上看到我，也时常会喊我加入他们的比赛之中，我也很乐意跟大家一起打打球活动活动。每每想到这些，教师的幸福感也会涌上心头。

让学生清楚你的课堂规则：在进行完自我介绍后这一环节的铺垫后，就可以顺其自然的过度到对课堂规则的介绍，学生也更能接受了。笔者一直认为，优秀的老师应该做到严慈相济，让学生既愿意跟你做朋友又愿意做你的学生。为了使后续的课程达到更好的上课效果，课堂规则和相关约束条件不能少。讲个例子，现在很多学校都已经在每个教室前面的墙上安装手机袋，要求学生上课前将手机静音后放入手机袋，但是有些老师实际执行的效果可能并不是很好，主要原因有二：一是教师首课中没有跟学生讲清楚这个课堂规则，如果中途某次课突然跟学生提出上交手机的要求，学生无法接受，有些学生会不配合，二是教师内心觉得学生可能会不配合，所以干脆放任学生课上私带手机。笔者在课堂实行学生手机入袋规则一年多来，学生整体配合度还是很不错的，这个与我在首课中交代清楚课堂规则有很大的关系，当然其间与学生的沟通技巧也很重要。

让学生知道课程考核要求：主要包括平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩三部分，让学生清楚每部分所占的比例，平时成绩主要指考勤、作业和课堂表现等方面，相比于考试，这部分分数相对容易获取，可以跟学生强调要持之以恒的重要性，毕竟平时成绩是体现在每一次的课堂里。有些细则要求可以让学生查阅《学生手册》，让学生明白这些要求是学校统一要求的，不是老师的个人要求，避免师生产生对立情绪。期中考试是对半学期学习质量的一个测评，有些学生可能会觉得进入大学了怎么还有期中考试，这个时候可以跟学生解释下，期中考试其实可以起到分摊期末考试得分压力的目的，这样学生就会好接受一些。等期中考试结束后，要给学生做思想工作，忘掉期中考试的表现，全力以赴冲刺期末考试，如何冲刺？把下半段新课学好学透。我觉得一个好老师，是能给学生带来情绪价值的，让学生觉得学习高等数学是必要的，是有意义的 ，学习过程是可以主动进行的，老师充当了引路人的作用。

在进行完以上几个环节后一般还剩半节课的时间，再进入正式的教学环节，整个首课显得不匆不忙，学生认识了老师，老师也走进了学生的心。切不可为了赶课时而忽略掉走进学生的机会，万事开头难，我们不是为了上好一节课，我们需要的是铺垫整个学期的课，责任心告诉我们，我们自己上课不“划水”，方能教导学生上课不“划水”。

三、高数课堂实景，教师的专业心

教师上完首课后，学生对教师的第一印象基本形成，学生应该明白高数这门课想过关不容易，在老师的课堂上想划水是行不通的。但是后续课堂具体是如何呈现的，往往体现了一个教师的专业心与恒心，教师给学生立好了规矩，但是后续课堂不按照规范执行，这会大大地削弱教师在学生心中的威信，让学生觉得这门课还是可以划水的，上课质量要大打折扣。更为重要的是，教师应该及时发现并解决学生在课堂学习中遇到的困难，让学生跟上教师的上课节奏，不能只是为了完成教学任务而置学生的困惑于不顾。接下来我将针对高等数学（上册）各章节学生学习过程中容易出现的问题谈谈个人的见解。

函数与极限：这部分内容学生在高中是学过绝大部分的，所以有些同学听下来觉得有些枯燥，部分同学甚至觉得高等数学也不过如此，有些飘飘然的姿态。也有部分同学觉得这一章的新定义不太好理解，比如数列极限的定义和函数极限的定义，无论是哪种心态，就内容这一角度来说，该章节新定义确实多一些，把新定义学明白相当重要，教师在授课时可以讲解一些学生相对熟悉的数学问题，并由此延伸出相关极限问题，比如斐波那契数列问题[2]。讲完这一章的时候可以给学生再回顾下典型例题（如极限计算、连续性判断）巩固概念，把这些内容给串起来，让学生体会其内在联系，为后面的导数与微积分内容的学习提高理论保障。

导数与微分：导数的概念和求导法则是高中的内容，在学习时可以稍微快一些，给大家过一遍就行，为后面新课的学习腾出课时，但是本章重点就是求导，函数的类型，不同类型的函数，求导时可能遇到不同的麻烦，但是求导的“根基“都是公式[3]。高阶导数的重点是莱布尼兹公式的运用，教师要通过例题讲清楚这个公式，讲解时可以结合高中所学过的二项展开式，化陌生为熟悉，学生接受起来会容易一些。隐函数求导方面，比如对求导为什么等于，这个是怎么出来的，很多学生刚开始学的时候是很懵的，此时要跟学生讲隐函数的求导法则，要把看成，采用复合函数的求导法则求导。参数方程求导方面，为什么分子分母都要除，以及分别是什么意思，学生可能会有点不好理解，教师应当详细解答学生的困惑，这些问题一旦讲透彻了，学生学起来就快了。微分公式可以和导数公式对比学习，体验导数“微商”的含义，为后续学习不定积分的第一类换元积分法（凑微分）做铺垫，和虽是同一个公式，但是悟透后者的境界要比前者高，这一点在后面凑微分的学习中表现得淋漓尽致。

微分中值定理与导数的应用：微分中值定理是使用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理论基础[4]。但是这一节对职业院校的学生来说不是特别友好，几个定理形式不一、条件不一、结论不一，教师在讲解时可以切入思政元素，先从几个定理背后的数学家讲起，进而引出几个定理的发现过程，讲解数学家们是如何由特殊情况推广到一般情况的，娓娓道来，像讲故事一般就把这几个定理的内在关系给讲明白了。紧跟着的洛必达法则是大部分学生比较喜欢的一节，部分学生甚至在高中阶段就已经提前学习过，不过要跟学生强调法则成立的条件以及使用场合，并不是凡事皆可“洛”。泰勒展开式对于职业院校的学生稍难一些，教师可以讲解几个常用的泰勒展开式，让学生记住即可，不必过于深入展开。该章节最后几节重在研究函数的图像，主要内容包括单调性、凹凸性、零点、驻点、拐点、极值和最值等，可以给学生简要归纳为“两性”（单调性凹凸性）、“两值”（极值最值）、“三点”（零点驻点拐点），这样学生更容易记住。一般来说，能把这七个要素考虑进去，函数图像就能刻画的更准确一些。其中特别要让学生区分下“三点”，凹凸区间的判断可以简记为“大凹小凸”。高等数学两学期的学习内容还是比较多的，如果学生在学习时能够得到教师归纳的一些朗朗上口的口诀的帮助，学习效果往往能大大提升。

不定积分与定积分：这两章有承前启后的作用，教师可以给不定积分一章多安排一些课时，特别是两类换元积分法对初学者来说还是有难度的，第二类换元积分法涉及到的三角公式较多，教师在讲解时可以给学生把高中所学过的三角恒等式中的两角和差公式、二倍角公式以及降次公式再复习一遍，这样学生解题时反应会快一些。分部积分法对于学生来说容易一些，教师只需要把分部积分的口诀给学生多强调即可。定积分在计算时，需要用到不定积分的积分方法，但更重要的是，定积分是要解决实际问题的，这其中教师要重点讲解定积分的元素法，它是分析和解决一些几何、物理等实际问题的重要方法，掌握了此法，学生方能更好的利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长等几何问题，以及求解变力沿直线所做的功、水压力、引力等物理问题[5]，正因为这一点，学生也更能理解学习高等数学的重要性。微积分的思想在现实生活中随处可见，它是“局部”与整体“的辩证统一，是“近似”与“精确”的螺旋上升，我们每个人都应该学习这种思想方法，这种体系的建立本质上是教会我们用发展的眼光看未来，用累积的思维破未知（切入思政元素）。

四、结论

站在学生视角，理解学生的困惑和需求，因材施教分层教学，是教师同理心的体现；上好第一次课，充分拉近师生关系，建立教师威信，对学生发展和课堂教学质量高度负责，是教师责任心的体现；用准确的表达、言简意赅的阐释、生动形象的案例教导学生，一年如一日的教学，这是教师专业心和恒心的体现。每位老师自己也是学生，在知识的海洋中要不断的学习不停的汲取能量，我坚信，只要心中有光，不忘初心，定能向阳而生，一路生花。最后，有句话与广大同行共勉：我们是职校高数老师，学生可能不爱高数，但是我们很爱学生。

参考文献

[1] 王维克. 数学之旅-数学中的抽象和心智的荣耀[M]. 北京：高等教育出版社，2019： 19-20.

[2] 舒阳春. 高等数学中的若干问题解析[M]. 2版. 北京：科学出版社， 2015： 29-35

[3] 王志超. 高等数学轻松学[M]. 3版. 北京：北京航空航天大学出版社，2023：41

[4] 张华隆，任学敏. 高等数学（上册）[M]. 3版. 上海：同济大学出版社，2021： 151

[5] 储继迅，王萍. 高等数学教学设计[M].北京：机械工业出版社，2019：75