基于 MATLAB 的建筑结构地震响应计算

1 引言

地震是破坏建筑结构安全性的主要的自然灾害之一[1]。因此在结构设计中，对建筑结构在地震作用下的响应计算分析是一个非常重要的环节，特别是对于一些大型且复杂的结构。目前，已有众多的商业有限元软件可用于对结构在地震作用下的响应计算分析，例如 SAP2000、ETABS、ANSYS 等。MATLB 是一款科学计算平台，可用多种计算分析、工程及设计应用，深受众多科研和设计人员的青睐。本文通过以三层钢架结构为研究对象，利用 MATLB 计算分析其在地震作用下的结构响应。

2 三层钢架结构模型

模型是一个三层钢框架结构，具有三个自由度，并在第一层安装了粘滞阻尼器，如图 1 所示，每一楼层质量和刚度均分别为 1500kg 和 1.5×10⁷N/m ，模态阻尼为 5% 。模型的运动方程如下：

其中， 和 ΔX 分别表示加速度向量、速度向量和位移向量，M、C 和 K分别表示结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。符号δ表示位置向量， 表示地面加速度，θ表示位置向量， f 表示粘性阻尼力，其表达式如下：

其中， 为粘性阻尼系数，其值为 20280.80N⋅s/m ， 表示第一层楼的速度。

图 1 三层钢架模型

3 MATLAB 模型建立

通常将结构模型简化为集中质量点模型以此简化计算。简化后的质量 和刚度K 矩阵为：

假设结构的振型是关于质量矩阵和刚度矩阵正交的，利用瑞利（Rayleigh）

阻尼[2]计算结构的阻尼矩阵C。

确定结构的质量、刚度和阻尼矩阵后，需要确定求解方法。本文使用状态空间方程进行结构响应求解，方程如下所示：

其中 A 是状态矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是传输矩阵， 是状态向量导数，u 是输入向量以及y 是输出向量。

4 计算结果

本文采用著名的 El Centro 地震作为激励信号对三层钢架结构进行地震下的结构响应分析，其中对El Centro 地震加速度记录进行归一化处理，地震强度 0.3g_⨀ 计算结果如下图 2 所示。

图 2 结构及阻尼器时程响应

图2 中展示了结构在地震作用下各层的绝对位移、速度和加速度，以及阻尼器阻尼力时程图。从图中可以观察出，随着层数的增加结构绝对响应增大。若是计算结构的相对位移、速度和加速度响应，响应则随着层数的增加而减小。

5 结语

利用 MATLAB 科学计算软件可以计算建筑结构的地震响应。在计算前需要对结构进行合理的简化建模，然后选择合适求解方法，例如状态空间方法，中心差分法等。根据分析需求，可求解出结构的位移、速度和加速度时程响应。此外，对结构响应进一步的处理分析，可求出结构的层间位移角度，最大加速度等重要的结构地震响应信息。

参考文献

[1] 李树桢.地震灾害评估[M]. 北京:地震出版社，1995.

[2] M.Z. Kangda and S. Bakre, The effect of LRB parameters on structural responses for blast and seismic loads, Arab. J. Sci. Eng.43(4)(2018)1761-1776.