突破与构建：开创结构化数学教学新境界

数学教学的优化关键在于教学内容组织的优化，“教学内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”。[1] 抓住数学的结构化特征，突破与构建教学内容、形式和思想方法，实现结构化教学，这是义教新课标对数学深化课改，深度教学，突出核心素养落实的新要求。所谓对数学结构化教学，就是将教学内容进行关联性、整体性、系统化设计，旨在完善和提升学生的数学认知、思维能力和数学素养。数学结构化教学主要包含三重建构：“知识体系的整体性重构、知识发展的过程性逻辑、学生学习策略的方法性构建。”[2]过程实际就是一个数学知识，数学认知和数学思想的重组、重构，形成结构的过程。

一、从知识维度搭建架构：筑牢知识结构化基石

众所周知，知识是能力形成的前提，也是思维发展的基础，因而以数学核心素养发展为目标的数学教学，十分重视促进知识结构化，从知识维度搭建架构，夯实结构化教学的基石。从教学视角而言，知识结构化，就是将零散的、孤立的知识点，依据其内在逻辑关系，整合构建成一个层次分明、脉络清晰的知识体系。就初中数学教学而言，结构化理论的运用首先就在于引导学生从整体着眼，发现不同数学概念、定理、公式之间的关联，按照其内在的关联性构建成一个有机的整体。从数学核心素养的视角而言，对其核心素养和关键能力发挥根本作用的不是零碎和散乱的知识，而是具有一定结构化的“知识类”。所谓“知识类”就是按照一定的逻辑结构和内在联系组织起来的知识体系。“知识类”是形成知识结构化，实施结构教学的根基。因此，要在初中数学教学中实施结构化教学，首先就要从“知识类”这一结构化的根基入手，抓住其特征，寻找到构建知识结构化的基本素材。下面以“图形与几何”知识的结构化为例，具体阐述如何从知识维度搭建架构知识体系（见图 1）。

（一）抓住高度的系统性特征，着眼知识脉络的有序铺展

数学知识不是孤立存在的，知识与知识之间具有内在的严密的逻辑联系。数学概念与概念，定理与定理之间，数与形、代数与几何之间都具有显著的关联性。“知识类”就是依据这种知识本身的逻辑关联性而凝聚在一起的。数学结构化教学就是要将这些知识点按照它自身的内在逻辑和内在关联，建构一个完整的知识体系，以引导学生从整体上把握数学知识。以“图形与几何”为例，初中阶段所学习的全部图形和几何知识构成了一个开放式的系统。从整体上看，每一个知识链条都是从基本事实出发推导图形的性质，探究图形的变化，通过数形结合构建图形的坐标。如，例如关于等腰三角形的性质，仅仅记住两底角相等，底边上的“三线”重合这些知识是不够的，我们必须让学生理解这些性质是怎样推导而来的，它们之间存在着怎样的内在逻辑关系，这些性质将在怎样的场景中应用等，使得知识之间环环相扣，形成一个有机整体，有助于学生建立完整的知识框架，深入理解等腰三角形的本质特征。

（二）认清复杂的层次性特征，注重认知深度的逐步递进

将知识结构化的真正目的是便于将知识按照层次性有序呈现，以便学生更容易接受。先行的数学教材总体上遵守从简单到复杂、从具体到抽象的层次性原则，这与学生的认知能力水平发展是高度一致，体现了学生认知从浅入深的发展过程。初中数学结构化教学强调遵循知识的层次结构设计教学内容，让学生的学习过程成为逐步提升，不断推进，走向深度教学的过程，是一个思维不断进阶的过程。但是教材的编写需要考虑综合因素，不可能将结构化知识完全脉络化、递进性地呈现在学生面前，需要在教学中通过教师进行系统化地整理，最后形成层次性分明的结构化知识体系。如，在“图形与几何”的知识系统中，小学阶段侧重的是感性思维，从“图形的认识与测量”出发，进而认识“图形的位置与运动”，初中阶段在此基础上以图形的抽象探索为主，无论从认知的广度，还是思维的深度都有了明显的提升。如，初中阶段探究的“图形的性质”是小学阶段“图形的认识与测量”的自然延伸，需要学生从直观认识上升到用逻辑推理证明图形的性质，进而在抽象思维的层面上更深层次地理对图形。初中数学中的“图形与几何”还需在更高层次上将抽象还原成具体，通过用代数的方法表达图形的特征，将几何图形与代数知识紧密结合，从单一学科知识到跨学科融合的层次递进，帮助学生逐步提升数学思维能力。

知识是学习的基础，在数学结构化教学中要注重对数学知识进行系统性的梳理与整合，搭建清晰合理的结构框架，为后续学习筑牢根基。

二、借认知锚点精准发力：重塑认知结构化体系

从结构化理论看来，每个知识点都是“知识类”这个整体链条中的一个链接点。初中数学的结构化教学就是要着眼于知识之间的内在关联，要实现“从表层逻辑走向内在关联，从结构经验走向自主建构”[3]的目标。数学结构化教学突出以“认知锚”作为关键切入点，借助学生已有的认知基础和经验，精准引导学生理解新知识，重新构建符合认知规律的结构化体系，助力学生更高效地吸收和运用知识。

（一）抓住“认知锚”促进知识向认识转化

“认知锚”指的就是教学过程中，为学生提供的关键性概念或实例，用以锚定新知识，促进知识的内化与迁移，实现由知识向认知的转化。要深入地理解“认知锚”的特点，就要搞清“知识”与“认知”的区别。从主体的角度而言，知识是客观存在，而认知是客观知识在人的头脑中的主观反映。因而数学知识结构与数学认知结构也存在着显著区别。数学认知结构通过数学语言来表达，通常具有严密的逻辑顺序，且经过严谨验证，从而形成结构完整的体系。初中学生的数学认知结构则主要以直觉和语义方式进行简化的概括，融合了学生对知识的理解和心理特征，其逻辑关系不一定严谨，结构体系不一定完备，甚至会或多或少地存在一些科学性问题。而解决这一问题的最佳路径是借助“认知锚”，重塑认知结构。如教学初中数学“图形与几何”，我们可以抓住构建“图形与几何”各知识板块间具有显著关联性“认知锚”的特点，引导学生重点认识这种关联性体现在不同主题之间相互支撑、相互渗透的特征。“图形的性质”为“图形的变化”和“图形与坐标”提供理论基础。例如，在研究图形在轴对称、旋转和平移等变化时，需要依据图形本身的性质来确定变化后的图形特征。我们可以通过多媒体绘制图形在直角坐标中的位置，展示图形的具体变化过程这样，学生就可以直观地了解到几何图形与代数式的关系，这样能使学生能够更全面、深入地认识图形的多样性和变化规律。

（二）借助思维导图梳理章节脉络。

数学知识通常以定义、概念、原理、定理，算理、规律等形式呈现，他们各自在整个知识体系中的地位和作用不尽相同，而且存在一定的逻辑关系。如学习代数需要我们按照数学内在的逻辑关系深入探究从有理数、实数到代数式，再到方程、函数，它们之间存在的层层递进关系。在此基础上我们可以将其思维以可视化的图示呈现出来。如，构建一个代数思维导图。如我们先确定思维导图主题“初中代数”，然后确定一级分支：数与式、代数式、方程与不等式、函数；再从一级分支中分解出二级分支。如代数式可以分为：整式、分式、二次根式。又如其中的整式可以再分出三级分支：单项式、多项式、整式的加减、整式的乘除。

（三）运用类比探究揭示内在关联

类比的方法是数学结构化教学中最常见的方法。通常有概念类比、性质与定理类比，通过类比能起到化难为易的作用。如，“分式”概念较为抽象，我们可以从分式与分数两个概念的类比入手，通过具体实例和定义进行对照类比，帮助学生清晰地看到分式与分数在形式和本质上的相似与不同，这样学生就容易掌握分式的概念，同时也加深了对分数概念的理解，发现两者之间在数与式层面的内在关联。推导和探究知识的形成过程，是进一步揭示知识内在关联的最基本方法。通过关注定理推导过程和公式的形成过程探究，是对数学关联路径的深度认识的主要形式。因此，在数学结构化教学中，教师要格外注重概念、定理和公式的形成过程，让学生对数学知识有一个深刻的结构化认知。

“认知锚”的主要作业首先在起到一个对学生认知的“稳固作用”，在数学认知的建构过程中，学生只要抓住“认知锚”，就可以将新知顺利地整合到已有的认知结构中，从而形成新的认知建构。其次是“认知锚”具有广泛的利用性，学生借助关键概念和实例的“认知锚”，可以较快地理解并吸收新知，提高学习效率。学生一旦清晰和稳定地把握“认知锚”，就能有效地理清知识间的联系和区别，避免混淆和误解。

三、以思想内核引领升华：推动思维结构化进阶

数学结构教学不仅是知识的结构化，更是学习过程和思维的结构化。[4]结构化教学核心是“思想内核”，突出结构化教学，不是让学生仅仅掌握结构化知识，而是要通过从知识到认知再到思想的发展。数学结构化教学以数学思想作为核心目标，通过挖掘和渗透数学思想方法，引导学生思维从简单到复杂、从单一到多元不断进阶，实现思维的深度发展与提升 。

结构化教学中的 “思想核”是贯穿于整个教学过程的核心思想，也是结构化教学所追求的最高目标。在初中数学的结构化教学中，“知识类”和“认知锚”的构建，最终都要归结到“思想核”。因为“思想核”才是学科本质的体现，是结构化教学中将“知识类”“认知锚”形成结构化体系的灵魂。

“ 思想核”除了关联性和系统性特征外，还具有三大显著特征。一是实践性。结构化思想是一种实践性很强的思想，它是在解决问题的具体实践应用中集中体现出来的。学生是否拥有结构化思想，在解决综合性较强，比较复杂的问题时，最容易显示出来。如，求|x－1|＋|3－x|＋|4＋x|的最小值。很多学生面对这样的问题感到束手无策，但对于善于运用结构化思想的学生来说却十分简单。首先他们由三个相加的绝对值马上就想到实际上是三个距离相加。于是联想到数形结合的方法，通过在数轴画出这三段距离，马上就可以发现当 x=1 时，三个距离相加的值最小，由此很快得出原式的最小值是 7。可见结构化思想有助于复杂问题的解决。

二是主体性。“思想核”的主体是学生，在落实“思想核”的过程中要充分强调学生的主体地位。在初中数学结构化教学中，教师需要关注学生的个体差异，尊重学生的学习兴趣和特长，注重培养学生的学习主动性和自主性。如学习基础差的学生在思维深度上可以降低要求，让他们能够在原有的认知基础上有所进步。而对于数学尖子的学生可以布置一些思维难度要求较高的竞赛类数学题，要求他们在高阶思维的基础上进一步发展结构化“思想核”。尊重学生的差异性就是最大地尊重学生的主体性。

三是反思性。教师的教学反思和学生的学习反思，是结构化“思想核”的重要组成部分。反思不仅是结果的反思，更是过程的反思。教师及时反思，可以根据需要及时调整结构化教学的内容和方式；学生在学习过程和学习一个阶段后的反思可以让自己的结构化认知和结构化思想不断完善和提升。如，平时善于对错题进行反思的学生，考试时出错率就会明显减少。

总之，初中数学结构化教学对于教师而言，它不仅是一种教学方法，更是一种教学思想；对于学生而言，它不仅是一种学习方法，更是一种思想方法。教师的教学思想对于学生的思想方法就有直接的深刻影响，因此教师在教学中要努力实现结构化教学，促进学生结构化思想的成长。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022 年版）[S]. 北京师范大

学出版社，2022.

[2] 林传忠.有结构地教数学[J].中小学教师培训,2018,(08):57-61.

[3] 宗骞.让知识“结构化”生长——以小学数学《数的认识总复习》一课为例[J].基

础教育课程,2023,(04):36-43.

[4] 胡全会.课程视野下的数学结构化教学[J].教学与管理,2020(20):40-42.