大数定律的教学设计

引入（10分钟）

老师讲述加PPT播放

“假设你开了一家小型保险公司，只卖一种意外险。根据精算，平均每个客户一年内发生理赔的概率是 1% ，理赔金额固定为 10 万元。保费定为 1500 元/年。

提问 1: 如果只卖给了 1 个客户，你觉得公司这一年赚钱的可能性大，还是亏钱的可能性大?为什么?

引导学生:亏钱风险极大，因为 1% 概率一日发生就赔 10 万，远超保费收入 1500 元。

提问 2: 如果卖给了 100 个客户呢?情况会有什么不同?

预期:稳定性增加，赚钱可能性增大。

提问3: 如果卖给了10万个客户呢?你觉得公司的平均理赔成本会稳定在什么值附近?为什么?

预期:非常接近 1%*10 万 元/人。

小结点题: 为什么客户数量增加风险反而变小了，平均结果更可预测了?这背后的数学原理就是今天要学习的内容“大数定律”。

同学们回忆一下频率的稳定性，什么是频率的稳定性呢？所谓的频率稳定指的是：一个随机事件出现的频率总是在某个固定的数的附近摆动。设做了 n 次实验，随机事件 A 在这 n 次实验中发生了 m 次， 就是 A 发生的频率，频率的稳定性指的是 吗？显然不是，因为可能等于 0，此时 Ω_n m P ) 是常数，不可能任意小的，也就是频率的稳定性不是传统意义上的频率的极限是概率，怎么用数学语言来刻画频率的稳定性呢？

无论是保险公司的平均理赔成本，还是频率，本质上都是大量随机变量(每个客户的理赔额)的平均值。大数定律就是用于研究大量随机现象中平均结果的稳定性的理论。

接着演示实验。

实验 1:伯努利试验(抛硬币-但用模拟可视化收敛过程)

设定: P (正面)=0.5, p=0.5 设定一个“容忍区间” ε (例如 ε=0.1 )。

演示:

·(动态路径图): 横轴: 试验次数 n (从 1 到，比如，1000 或 10000)。纵轴: 累计频率 m 。

随着 n 从 1 开始增加，实时绘制 (红线)的变化路径。同时画出 p =0.5( (黑实线)和 p±ε=0.4/0.6

动态实验中观察：

·n 很小时: 红线上下剧烈波动，频繁穿越灰色虚线区域(即 m 0.5  0.1经常发生)。

n 增大时: 波动幅度明显减小，红线越来越密集地在 0.4~0.6 的灰色区域内震荡，极少跑出这个区域。

教师强调:“看随着试验次数 n 越来越大，频率 被“束缚”在理论概率 0.5 附近 +0.1 范围内的趋势越来越强了! 它跑出这个范围的可能性越立越小了!”

提问引导:

“在刚才的实验中，当 n 固定时(比如 n=100 )， 是否一定落在 p 内?”

学生答不一定! 模拟可以暂停在某个 n 时刚好落在区间外的点，让学生看到。

“当 n 越来越大时，又落在 p_θ±θε 内这件事发生的可能性(概率)是变大了还是变小了?”答变大了! 从图上看到跑出去的点越来越稀少。

“如果 n 无限增大 ，这个概率会趋近于多少?”

引导学生说出趋近于 1

那么，又落在 p_±ε 之外(即 的概率呢?

答趋近于 0 水到渠成引出定义。

一.基本概念（5分钟）

依概率收敛的定义： X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 是随机变量序列， X 是随机变量，若对任意的 ε>0 ，恒有 lim_n∞P(|X_n-X|<ε)=1 或 lim_n∞P(|X_n-X|≥ε)=0 则称随机变量序列 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 依概率收敛与 X ，记为 。大数定律的定义：若 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 是随机变量序列，令

如果存在这样的阐述序列 a₁,a₂,⋯,a_n,⋯ ，对任意的 ε>0 ，恒有lim_n∞P(|Y_n-a_n|<ε)=1 或者 lim_n∞P(|Y_n-a_n|≥ε)=0 则称随机变量序列 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 服从大数定律（或大数法则）。

今天学习 1713 年伯努利第一个用严格的数学形式表述并证明的大数定律——伯努利大数定律，学习首次明确使用了“大数定律”这一名称的泊松大数定律（1835 年）。1867 年切比雪夫突破大数定律中独立性的假定，在两两不相关的条件下给出的大数定律——切比雪夫大数定律，19 世纪末到 20 世纪初，切比雪夫的学生马尔可夫注意到在切比雪夫的 的工作使得大数定律的适用条件更加精细和优化。辛钦在 1929 年突破大数定律中随机变量方差的限制，提出并证明了辛钦大数定律。大数定律的发展经历了 200 多年，理解大数定律的历史发展，体会到科学研究的艰辛与伟大。

大数定律（35 分钟）

定理 1：马尔可夫大数定律

设 X₁,X₂,⋯,X_n,⋅ 是随机变量序列， ，则对任意的 ε>0 ，恒有

定理 2：切比雪夫大数定律

设 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 是两两不相关的随机变量序列，每一个随机变量都有有限的方差且有公共的上界， D(X₁)≤C,D(X₂)≤C,⋯,D(X_n)≤C,⋯ ，则对任意的 ε>0 ，恒有

证明：因为 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 两两不相关，故 再有切比雪夫不等式得到

于是，当 n+∞ 时， 。

注：大数定律说明当 n 很大时，随机变量 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 的算术平均值 接近于它们期望的算术平均值 。当然这种接近是概率意义下的接近。通俗地说, 在定理条件下， n 个随机变量的算术平均值，当 n 无限增加时,几乎变成一个常数。

显然切比雪夫大数定律是由马尔科夫大数定律推导出来的，而马尔科夫大数定律没有任何不相关的假设。

例 1 ： 设 随 机 变 量 序 列 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 独 立 同 分 布 ，EX_i=μ,DX_i=σ²<+∞ ，证明：

证明：因为 对任意的 ε>0 ，由切比雪夫不等式得 因此 。定理 3：伯努利大数定律设 μ_n 是 n 次独立重复伯努利实验中事件 A 发生的次数， p 是事件A 发生的概率，则对任意的 ε>0 ，恒有 证明：引入随机变量序列 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 其中 第i次试验A发生，第i次试验A不发生显然 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯～B(1,p) ，相互独立同分布，且 故由切比雪夫大数定律知，对任意的 ε>0 ，恒有

E

伯努利大数定律表明事件的频率是依概率收敛到事件发生的概率的，也就是当 n 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。在实际应用中，当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

定理 4：泊松大数定律

如果在一个独立实验序列中，事件 A 在第 k 次实验中发生的概率是p_k ，以 μ_n 记在前 n 次试验中事件 A 出现的次数，则对于任意的正数ε>0 ，有

该证明是显然的。

泊松大数定律将伯努利的结论推广到非伯努利试验的情形，即事件每次试验发生的概率可以不同。

定理 5：辛钦大数定律

随机变量 X₁,X₂,⋯,X_n,⋯ 序列独立同分布，数学期望存在，即 则对任意的 ε>0 ，恒有

辛钦大数定理具有突破性的意义：一是统一了理论框架，将伯努利大数定律（0-1 分布）推广至任意同分布随机变量序列，伯努利大数定理成为辛钦大数定律的一个特例；二是无须方差存在，这造成辛钦大数定律的证明方法独特，同学们课后可以预习，我们下次课再讲它的证明方法。

最后用 1 分钟总结：大数定律是概率论与统计学中最基础、最重要的定理之一，它揭示了大量随机现象中呈现的稳定性规律。其核心思想是:当独立重复试验的次数足够多时，随机事件发生的频率会稳定地趋近于其发生的概率。大数定律的历史清晰地展现了数学思想从具体经验到抽象公理、从特殊情形到一般定理的深刻演进过程。它不仅是概率统计的基石，其发展本身也极大地推动了分析数学(尤其是极限理论和测度论)的进步。

参考文献

[1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程第三版[M].北京:高等教育出版社,2020.

[2]李贤平. 概率论基础第三版[M].北京:高等教育出版社,2015.

（上接第 112 页）

[8]廖友国、陈建文、刘艳等《社会支持与大学适应的纵向关系：基本心理需要满足与意向性自我调节的作用》《，心理科学 年第 1 期，第 86-96 页。

[9]高迎爽、李崇华、王涛《社会支持理论视域下高校新生适应性研究》，《国家教育行政学院学报》2023 年第 2 期，第 80-88 页。

[10]周溪亭、魏军、陈淳琳《大学新生学业内卷与其大学适应的关联：学业内卷氛围的调节作用》，《清华大学教育研究》2022 年第 5 期，第 131-140 页。

[11]刘欢、李于凡《大学新生学习适应、社交适应、情绪适应间的动态联系：一项追踪研究》，《心理发展与教育》2024 年第2 期，第270-278 页。

[12]鲍威、何元皓、何峰《跨越新生适应障碍：中国大学入学教育的运行机制及其成效》，《华东师范大学学报(教育科学版)》2025 第 1 期，第 49-66 页。

[13]习近平《扎实推动教育强国建设》，《求是》2023 年第 18 期，第4-9 页。

[14]赵玉芳、左有霞《新时代大学生心理健康监测体系构建与实践进路》，《中国高等教育》2024 年第 23 期，第 60-64 页。

[15]Zung WW.A rating instrument for anxiety disorders[J]. Psychosomatics,1971,12(6):371-379.

[16]Brown KW,Ryan RM.The benefits of being present:Mind-fulness

and its role in psychological well-being.Journal ofPersonality and Social Psychology,2003,84(4):822-848

[17]郑志宏、马涛、孔新梅等《基于最近发展区的学科知识图谱构建及大单元设计研究》，《远程教育杂志》2024 年第 2 期，第 56-64 页。

[18]李艳、孙凌云、江全元等《高校教室人工智能素养及提升策略》，《开放教育研究》2025 年第 1 期，第 23-33 页。

[19]王冬青、陈自力、邵文豪等《从“负能”到“赋能”：基于 LLMs的思维链提示设计与教研 AI 智能体构建——以课堂教学智能分析为例》，《中国电化教育》2025 年第 3 期，第 111-117125 页。

[20]韩葵葵、胡卫平《以跨学科主题学习凸显科学课程的综合性和实践性》，《中国教育学刊》2025 年第 2 期，第 49-54 页。

[21]安桂清《基于课程标准的跨学科主题学习：内涵阐释与实施要点》，《中国教育学刊》2024 年第 7 期，第 15-21 页。

项目简介：本文系西南财经大学 2024 年大学生心理健康教育特色项目“身体知道心灵的答案：身心疗愈视角下的正念减压团体辅导”阶段成果。

作者简介：徐彩慧，女，西南财经大学学生工作部讲师，研究方向为心理健康教育、大学生思想政治教育。

第二作者：于海棠(2004-12)，女，重庆人，汉，本科，西南财经大学工商管理学院本科生。