关于矩阵特征值与特征向量教学的几点思考

线性代数是我国理工类高校的公共基础课程[1]，内容抽象、逻辑性强，在解决实际问题或研究生升学考试中扮演重要角色。其中，矩阵的特征值与特征向量在教材中承前启后，既是教学重点也是难点[2]。事实上，现有教材对于特征值和特征向量的引入往往平铺直叙，缺乏引入过程[3]，可能给学生课前预习、教师串联课程知识体系带来不便。因此，如何基于已授知识点引出特征值和特征向量的定义及其性质是一个教学难题。

对此，本文从该角度出发研究了矩阵特征值与特征向量的教学问题，概括如下：

1. 以线性方程组的矩阵形式为基础，利用向量空间、线性变换等已学概念引出特征值与特征向量的数学定义，同时在推导过程中直观展示了概念的常见性质；2. 通过向量分解刻画特征值与特征向量的几何意义并得到相关结论，从新的维度深化学生对于特征值与特征向量的理解。

1. 教学背景

根据教学逻辑，学生在学习矩阵的特征值与特征向量之前，需要掌握矩阵、向量组、线性方程组及线性变换等基础知识。然而，现有教材往往未能清晰阐述这些前置概念与特征值、特征向量之间的内在关联。接下来，本文将从两个角度出发解决该问题。

2. 从代数角度引出特征值与特征向量

不妨从线性变换角度解读线性方程组 Ax=b 。即，其可视为线性变换 A 将 x 变换为 b ，或 A 是将 x 映射到 b 的函数。假设 x,b∈Rⁿ ，向量组 C:a₁,a₂,⋯,a_n 是 n 维向量空间 V 的一组基，则 C 是极大线性无关组且 C 为 非 零 向 量 组 ， 存 在 常 数 k₁,k₂,⋯,k_n 和 k₁^',k₂^',⋯,k_n^' 使 得x=k₁a₁+k₂a₂+⋯+k_na_n ， 。将上式代入Ax=b ，有 Ax=k₁Aa₁+k₂Aa₂+⋯+k_nAa_n=k₁^'a₁+k₂^'a₂+⋯+k_n^'a_n∘k₁^'a₂. 假设 k₁^'=λ₁k₁ ， k₂^'=λ₂k₂ 直至 k_n^'=λ_nk_n ，则有 换言之，对于任意的 i=1,2,⋯,n ，均有 Aa_i=λ_ia_i ，即齐次线性方程组(A-λ_iE)a_i=0 存在非零解（ E 为 n 阶单位矩阵）。显然， A 必为方阵。此时，可以引出矩阵特征值与特征向量的定义。即，定义 λ_i 为方阵 A 的特征值， a_i 为特征值 λ_i 对应的特征向量。

显然，由上述过程可得以下结论：

① 由 x=k₁a₁+k₂a₂+⋯+k_na_n 可知，对于线性方程组 Ax=b ,向量 x 可由方阵 A 的特征向量线性表示；② 方阵 A 有 n 个特征值，所有特征值对应的单个特征向量的组合为极大线性无关组，且该极大无关组是 n 维向量空间 V 的一组基；③ 由于 C 中向量均为非零向量，故方阵 A 的特征向量必须是非零向量；④ 若 x 是 A 的特征向量，则必然存在一个 A 的特征值使得Ax=b=λx 。此时， b 与 x 满足等比例线性关系，线性变换 A 的几何意义是对特征向量进行等比例缩放。若特征值为正，则新向量方向与 x 保持一致。反之，二者方向相反。

3. 从几何角度引出特征值与特征向量

一般地，若 x 不是 A 的特征向量，则如何解读线性变换的几何意义？以该问题为引，本小节将以平面上向量的线性变换为例，从解析几何角度引出特征值与特征向量的定义。

对于线性方程组 Ax=b ，不妨取 如图 3.1 所示。显然， x 不是 A 的特征向量， b 与 x 不满足线性关系。此时，平面上向量线性变换的几何意义可以理解为：线性变换 A 对 x 等比例缩放后再将所得向量沿原点绕特定角度旋转。

假设 a₁ 、 a₂ 是 2 维向量空间的一组基。接下来，如图 3.2 所示，在基向量方向上对 x 、 b 进行向量分解。

显然，有： ， 。若 ξ₁^*=λ₁ξ₁ ，ξ₂^*=λ₂ξ₂ ，则由 Ax=b 可得 Aa₁=λ₁a₁ ， Aa₂=λ₂a₂ ，且 A 是方阵。自然地，可以引出矩阵特征值与特征向量的定义。即对 ∀i=1,2 ，定义 λ_i 为方阵 A 的特征值， a_i 为特征值 λ_i 对应的特征向量。

显然，由上述过程易得以下结论：

(I)b₁=λ₁x₁ ， b₂=λ₂x₂ 。因此，平面上向量线性变换的几何意义还可以理解为：线性变换 A 对向量 x 在基向量方向上的分解向量进行等比例缩放，且缩放系数分别对应方阵 A 的特征值。此时，基向量也是 A 的特征向量；② 向量 x 可以由方阵 A 的特征向量线性表示，且 A 的特征值对应的特征向量可构成 2 维向量空间的一组基。

参考文献：

[1]段中雨, 孔彦玲. 线性代数教学的探索与实践[J]. 科技风, 2023,(03):43-45.

[2]张林丽, 原乃冬, 张晶晶, 等. 线性代数中特征值与特征向量的教学设计[J]. 数学学习与研究, 2021, (10):8-9.

[3]雍龙泉. 矩阵特征值与特征向量的几何意义[J]. 陕西理工大学学报(自然科学版), 2021, 37(05):80-85.

基金项目：课程思政优质课（项目号：2023szyzk78），研究生社会实践示范课程(项目号：2023yz1018).