＂立德树人＂视域下高等数学课程思政案例研究

“立德树人”是学校教育的根本任务，需将德育贯穿全程。高等数学作为公共基础必修课，不仅传知识、培能力，还蕴含科学精神等思政资源，但部分教学存在“重知识、轻价值”问题，思政融入易 出现“两张皮”现象。微分方程应用广，在环境治理中关联国家战略，兼具知识与价值属性。本文依托校本教材，以其环境治理应用为案例，研究高数课程思政路径，为提升育人实效提供可推广方案。

一、“立德树人”与高等数学课程思政

（一）“立德树人”的内涵与意义

“立德树人”的核心理念，确立正当的道德观念和价值定位，含社会主义核心价值观、职业道德、社会责任感等关键点；“树人”强调塑造全面素质、符合社会进步要求的高素质人才，在高等教育范畴，“立德树人”构成德育工作的核心要素，更是所有课程应达成的目标——让“思政课程”与“课程思政”同向同行，让课程成为育人的有效手段，最终促成学生德才兼备、全面成长。

从国家战略层面看，新时代对理工科人才的需求已不再局限于专业能力，更强调其对国家需求的响应能力、对社会问题的解决意识以及对生态环境的责任担当。“立德树人”正是通过课程教学的潜移默化，将个人发展与国家命运、社会进步紧密结合，为我国科技创新、生态保护等领域培养“心怀家国、术业专攻”的建设者。[1]

（二）高等数学课程思政的必要性与可行性

1. 必要性

必要性方面，高等数学抽象性易让学生感到“学习无用论”，课程思政结合现实问题（如环境治理）可显数学应用价值、激发学习兴趣；课程思政借案例中生态责任等元素，助其树正确职业观与社会观，实现“能力”“品德”协同发展。

2. 可行性

可行性上，从课程属性看，高等数学含丰富思政元素，如微分方程建模体现辩证思维，定理推导显科学精神；从实施条件看，高校有完善课程思政体系，校本教材可灵活调整，信息技术也为“数学知识 + 思政案例”教学提供支持。

（三）高等数学课程思政的目标与原则

1. 目标

目标上，需契合“立德树人”，分三维度构建“三位一体”体系：知识传授维度，让学生掌握微分方程等理论，具备解决实际问题能力；能力培养维度，提升逻辑思维、建模与协作能力；价值塑造维度，培育科学精神、环保意识等。三者关联递进，共促育人。

2. 原则

原则有三：一是有机融合，依微分方程知识逻辑与环境案例，使思政自然融入，如借污染物浓度规律传递生态理念；二是学生主体，以小组讨论等促学生主动挖思政元素；三是与时俱进，结合“双碳”等政策更新校本教材，贴合时代需求。

二、微分方程基础与环境治理中的应

1. 微分方程基本概念与分类

微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，其核心是通过已知的变化率反推函数本身，进而预测事物的发展趋势。根据方程中未知函数的变量个数，可分为常微分方程（仅含一个自变量，如描述单一污染物浓度随时间变化的方程）与偏微分方程（含两个及以上自变量，如描述污染物在空间中扩散的方程）；根据方程的阶数，可分为一阶微分方程（含一阶导数）与高阶微分方程（含二阶及以上导数）。在环境治理中，常微分方程因模型简洁、物理意义明确，被广泛用于描述污染物浓度随时间的变化规律，是入门级且实用的数学工具。

2. 微分方程在环境治理中的应用原理

微分方程在环境治理中的应用，本质是基于“物质守恒定律”构建数学模型 — 即某一区域内污染物的总量变化，等于该区域内污染物的输入量、输出量、产生量与降解量之差。通过将这一物理过程转化为数学语言，可建立污染物浓度与时间的微分方程，进而求解方程得到浓度随时间的变化规律，为环境治理决策提供量化依据。[2]

例如，在湖泊、河流等水体污染治理中，可通过微分方程预测污染物浓度降至安全标准所需的时间；在大气污染治理中，可通过微分方程分析污染物的扩散速度与影响范围。这种“实际问题→数学建模→求解分析→实际应用”的逻辑，不仅体现了数学的工具价值，更展现了“用科学方法解决现实问题”的思维路径。

3. 具体应用案例分析

校本教材结合区域生态特点，选取“城市湖泊污染物浓度变化”为案例，具体分析如下：

1. 问题背景

某城市湖泊为封闭水体（无自然流出），因周边生活污水排放，湖泊中污染物浓度持续升高，需通过截污（减少输入）与换水（增加输出）进行治理。假设湖泊总水量为 V，初始时刻（t=0）污染物浓度为 C₀ ， 截污后，污水输入量减少，污染物输入浓度变为 C_in ，输入流量为Q（常数）；同时通过换水使湖泊输出流量也为Q（保证湖泊水量稳定），且污染物在湖泊中均匀混合（浓度处处相同），不考虑污染物自然降解。

2. 建立方程

设时刻 t 湖泊中污染物浓度为 C（t），则时刻 t 污染物总量为 v⋅c（t） 。根据物质守恒定律，污染物总量的变化率等于输入速率减去输出速率，即： 。

3. 求解与分析

通过分离变量法求解该方程，可得通解为：

从解的形式可得出以下结论：

当 t+∞μt ， ，即长期来看，湖泊污染物浓度将稳定在输入浓度 ，说明截污（降低）是治理的根本措施；越大（即换水流量 Q 越大、湖泊水量 V 越小），C（t） 下降越快，说明换水可加速污染物浓度降低，但需结合成本与生态承载力（如过大流量可能破坏湖泊生态）；该案例在教学中不仅帮助学生掌握了一阶线性常微分方程的求解方法，更通过“如何平衡治理效果与成本”“如何兼顾经济发展与生态保护”等问题的讨论，引导学生思考环境治理的复杂性与系统性。

三、思政元素挖掘与融入

（一）从微分方程应用中挖掘思政元

1. 科学探索精神

微分方程的建模与求解过程，体现了“观察现象→提出假设→构建模型→验证改进”的科学研究范式。从牛顿通过微分方程描述万有引力，到现代科学家用微分方程解决环境问题，每一步都离不开严谨求实、勇于探索的科学精神。在案例教学中，可介绍数学家欧拉、拉格朗日等在微分方程发展中的贡献，以及环境科学家如何通过数学建模推动治理技术进步，引导学生学习科学家“追求真理、精益求精”的品质。

2. 生态环保意识

案例中湖泊污染物浓度的变化规律，直观展现了“污染易、治理难”的现实 —— 若初始浓度远高于安全浓度 ，即使采取截污与换水措施，也需较长时间才能恢复生态平衡。这一结论可引导学生认识到：生态环境具有脆弱性，需树立“预防优先、保护为主”的环保意识，理解“绿水青山就是金山银山”的深刻内涵，将生态保护理念融入未来的专业学习与职业发展中。

3. 社会责任与家国情怀

环境治理不仅是技术问题，更是关系民生福祉与国家可持续发展的重大课题。在案例讨论中，可结合我国“双碳”目标、长江大保护等国家战略，说明数学方法在支撑国家生态决策中的作用，引导学生认识到：作为理工科学生，学好数学知识不仅是为了个人发展，更是为了未来能以专业能力服务国家需求、解决社会问题，增强“为国担当、为民服务”的责任感与使命感。

（二）融入思政元素的教学方法与策略

高等数学课程思政采用三种教学方法融入思政元素：案例教学法以校本教材湖泊污染案例为核心，通过“问题驱动”，先展示污染实景数据引发共情，再教用微分方程建模，分析换水流量与治理时间关系时引入“生态成本”，引导树立科学治理理念；小组讨论法将学生分 4-5 人组，围绕区域环境治理方案设计讨论，结合案例设计含建模、可行性分析等的方案，借相关问题促学生思考社会责任，强化思政认同；项目式学习法布置 4周项目，让学生调研本地环境问题、建微分方程模型并提建议，学生在实践中提升能力，深化用专业解决社会问题的责任意识，实现思政素养内化。

四、教学实践与效果评估

（一）基于校本教材的教学实践设计

1. 教学目标

掌握一阶线性常微分方程的建模与求解方法，理解微分方程在环境治理中的应用逻辑；提升数学建模能力、数据分析能力与团队协作能力；培养科学探索精神、生态环保意识与社会责任担当。

2. 内容组织

结合校本教材章节安排，将“微分方程在环境治理中的应用”设为 2 课时（理论 1 课时 + 实践 1 课时）：理论课聚焦案例建模与求解，融入科学精神与环保意识；实践课开展小组讨论与项目规划，强化社会责任与协作能力。同时，在教材配套的习题册中，增设“环境治理相关微分方程应用题”，如“河流污染物扩散模型”“大气 PM2.5 浓度预测”等，延伸教学效果。

3. 教学资源利用

利用校本教材的区域特色资源，如本地湖泊、河流的污染数据与治理案例；结合多媒体工具，播放环境治理纪录片片段（如《长江之恋》）、展示微分方程建模的虚拟仿真动画，增强教学的直观性与感染力；邀请学校环境工程专业教师进行客串讲解，介绍环境治理的实际流程与技术难点，打通“数学”与“环境”的学科壁垒，提升案例的真实性与专业性。

（二）教学实践过程与实施

本次教学实践在我校 2024 级两个班级（共 120 人）开展，具体过程如下：

案例引入（10 分钟）：播放本地湖泊污染前后的对比照片，介绍污染对居民生活与生态系统的影响，引发学生关注；知识讲解（30 分钟）：回顾一阶线性常微分方程的基本理论，引导学生结合物质守恒定律建立湖泊污染模型，推导方程并求解；

思政融入（15 分钟）：分析解的物理意义，讨论“治理时间与生态成本的关系”，引入我国生态保护政策，引导学生思考数学与国家战略的关联；

课堂互动（25 分钟）：以小组为单位，讨论“如何优化治理方案以缩短工期并降低成本”，各小组代表发言，教师点评时强调“科学决策”与“社会责任”；

实践延伸（课后）：布置项目作业，要求小组调研本地环境问题并建立微分方程模型，两周后提交报告并进行课堂展示。

（三）教学效果评估与反馈

1. 评估方式

采用“多元评估体系”，从知识、能力、思政三个维度进行评估：

知识维度：通过课后作业（微分方程建模题）与单元测验（案例应用题），评估学生对微分方程知识的掌握程度；能力维度：通过小组项目报告（评估建模能力、数据分析能力）与课堂展示（评估表达能力、协作能力），综合评价学生的实践应用能力；

思政维度：通过问卷调查（了解学生环保意识、社会责任的变化）与课堂发言（分析学生对生态理念的认同程度），评估思政素养的提升效果。

2. 评估结果

评估结果显示，三维度成效显著：知识维度上，85% 学生能独立完成湖泊污染案例建模求解，较教学前提升 33%，环境治理类微分方程应用题 平均得分 82 分，高于传统题目 7 分，印证案例教学助学生理解抽象知识；能力维度上，80% 小组项目报告能精准建模并提可行治理建议，76% 学生课堂展示时思路清晰，92% 学生认可团队协作促进跨维度思考，项目式学习提升了建模、表达与协作能力。

3. 学生反馈与改进建议

思政维度突破明显，88% 学生认识到数学对环境问题的作用（提升 43%），79% 主动关注本地环境新闻（提升 38%），72% 愿未来用专业参与治理（提升 29%），课堂发言体现环保意识与责任感内化。学生反馈积极，认为案例实用、解决真问题有成就感，同时建议增加本地多类环境案例、提供分层指导、细化项目报告思政评分标准，为教学优化提供依据。

五、结论

文章以“立德树人”为根本，围绕高等数学课程思政，结合微分方程环境治理案例及校本教材研究，获三方面成果：明确“知识传授 - 能力培养 - 价值塑造”育人目标与实施原则，验证思政元素挖掘可行性；形成“2+1”课时模式与多元评估体系，实践显示学生数学应用认同及环保关注显著提升；凸显校本教材区域与时代贴合优势。同时存在思政融入精准度不足、学生参与分层、长效评估缺失等问题，需通过元素图谱、分层教学、跟踪评估改进。[3]

未来将从三方面深化研究：拓展案例与元素库，覆盖医疗、经济等领域及高数全章节；创新技术赋能教学，开发虚拟仿真系统、利用大数据实现个性化引导；推动跨学科协同，与专业及思政课程合作，构建协同育人格局，持续优化方案，让高数兼具“工具性”与“育人性”，助力培养德才兼备的理工科人才。

参考文献：

[1] 王毅泓 ，徐旭颖 ， 李芳菲 . 面向多学科背景的微分方程应用案例研究 [J]. 高等数学研究 ，2025，28（03）：58-62+70.

[2] 朱华 ， 杨广宇 . 基于微分方程的教学案例研究 [J]. 高等数学研究 ，2023，26（03）：95-98.

[3] 周会娟，兰曼. 基于专业背景的教学案例在高等数学教学中的应用[J]. 科技风，2020，（34）：55-56.