老年人健康状态马尔科夫建模研究

一、引言

随着人口老龄化加剧，如何有效预测并管理老年人的健康状态成为公共卫生与养老服务的重要研究课题。

根据民政部、全国老龄办发布的《2024 年度国家老龄事业发展公报》，截至 2024 年年末，全国 60 周岁及以上老年人口 31，031 万人，占总人口的 22.0% ；全国 65 周岁及以上老年人口 22，023 万人，占总人口的15.6%。全国 65 周岁及以上老年人口抚养比 22.8%。全国人均预期寿命达 79.0 岁。老龄化进程的加速导致健康状态转移、长期护理需求、医疗服务压力持续增加，对养老服务体系的科学规划提出了严峻挑战。

老年人健康状态具有动态变化的特征，从“健康”渐变为“亚健康”“患病”“失能”直至“死亡”，这一过程伴随着不同的医疗、护理和养老需求。由此，准确描述和建模健康状态的动态转移规律，对于实现精细化健康管理、优化资源配置以及预估长期护理服务具有重要意义。

马尔科夫链是一种基于状态转移概率的随机过程模型，具有“无记忆性”的数学特征，适用于描述系统状态随时间变化而产生的随机演化过程。在医疗与健康研究领域，该方法被广泛用于分析疾病进程、慢性病管理以及寿命预估等问题。通过构建多状态马尔科夫模型，可以定量描述老年人在不同健康状态之间的转移规律，并据此预测长期状态分布趋势。本文以多状态马尔科夫链为基础，对老年人健康状态的动态演化进行建模分析，旨在为养老服务需求的评估、政策干预的情景模拟以及资源配置的科学决策提供理论依据与数据支持。

本论文将系统构建老年人健康状态的马尔科夫链模型，通过公式推导、矩阵计算、数值分析等方法，展示模型的构建过程及其在实际应用中的潜力与意义。

二、理论基础

马尔科夫链的核心在于状态空间的构建、转移概率的设定以及长期稳态分析。本研究参考已有文献定义五个状态：健康、亚健康、患病、失能、死亡。

转移概率矩阵 P 的每一行表示从某一状态出发，下一时刻进入各状态的概率分布。

通过n 步转移概率 P^（n） 和稳态向量 π 的计算，可推演健康状态在长期内的演变趋势。

（-） ）马尔科夫链定义

马尔科夫链（Markov Chain）是一种随机过程，其基本特征是“无记忆性”或“马尔科夫性”，即系统未来状态的概率分布仅与当前状态有关，而与过去状态无关。形式化定义为：

若有状态空间 S={1，2，，m} ， 且对任意 η_n⩾0 和任意状态 i₀ ， i₁，…i_n，i_n+1∈S ，

O₊₁=i_n+1∣X_n=i_n，X_n-1=i_n-1，...，X₀=i₀）=P（X_n+1=i_n+1∣X_n=i_n

则称随机过程 {Xn，n=0，1，2，…} 为马尔科夫链。

）转移概率矩阵

马尔科夫链的核心是转移概率矩阵P ：

其中 p_ij 表示在一个单位时间内从状态i 转移到状态j 的概率。要求：

（≡） ）n 步转移概率

n 步转移概率矩阵 定义为：

P^（n）=Pⁿ

即通过矩阵 P 的 n 次幂计算得到。

P_ij^（n）=P（X_t+n=j|X_t=i）

表示从状态i 经过 n 步转移到状态j 的概率。

（四）稳态分布

若存在向量 π=（π₁，π₂，…，π_m） ，满足：

则 π 为马尔科夫链的稳态分布，表示长期运行下系统处于各状态的比例。

三、模型构建

（⟶） ）状态空间定义

本研究根据老年人健康状况划分为五个互斥状态：S={1： 健康 ，2： 亚健康 ，3： 患病 ，4： 失能 ，5： 死亡 }各状态含义：

1. 健康：无明显疾病

2. 亚健康：轻度健康问

3. 患病：确诊疾病

4. 失能：生活自理能力丧失

5. 死亡：终止状态（吸收态）

每个状态对应不同的养老服务需求：

健康、亚健康 → 主要需求：居家养老服务患病、失能 → 主要需求：长期护理、机构养死亡 → 吸收状态（不可逆）

（二）转移概率矩阵来源本研究的转移概率矩阵P 来源于以下三方面：

1. 文献参考：参考 Brinks（2022）、付思佳（2023）、吴忠（2020）等关于老年人健康转移概率区间的研究数据。2.CHARLS 数据统计：基于2011-2018 年“中国健康与养老追踪调查”样本数据，统计各状态在两轮调查间的转移频率：

ij=从状态i转移到状态j的人数

状态i人数

3. 专家校正：通过健康老龄化领域专家审核修正低样本状态概率，确保数据逻辑与政策适用性。综合上述来源，转移概率矩阵设定为：

（三）初始状态分布

假设初始群体状态分布为：

四、数据分析与计算

（一）五年预测

根据：

π^（1）=π^（0）P，π^（n）=π^（n-1）P

逐步计算：

表1 老年人健康状态年度分布预测表（单位：比例）

结果显示健康比例逐年下降，患病、失能、死亡比例逐渐上升。

（二）稳态分布

求解：

π=πP.

解得：

长期下：约23% 健康，19% 亚健康，17% 患病，15% 失能，26% 死亡。

五、结果讨论

本研究利用多状态马尔科夫链模型对老年人健康状态转移过程进行了建模与预测。模型模拟结果表明，随着时间推移，“健康”状态人口比例持续下降，而“患病” “失能”状态的占比逐年上升，反映出老龄群体中健康恶化速度较快，健康维护干预的紧迫性不断增强。具体而言，初始健康人口占比为 60%，至第 5 年下降至39%，降幅达21 个百分点。

长期稳态分布结果显示：健康、亚健康、患病、失能、死亡五类状态的稳定占比分别为 23%、19%、17%、15%、26%。死亡状态作为吸收态，其占比体现了系统演化的最终归宿；而“失能”状态的高占比则揭示，在个体死亡前通常经历了较长时间的高度依赖性阶段，对照护资源提出了持续性、高密度的服务要求。

在资源配置层面，模型结果揭示了养老服务系统的结构性压力。5 年预测期间，“失能”人口比例从 8% 上升至 10.2%，增长超过 2.2 个百分点。由于“失能”状态通常伴随复杂的长期照料需求，包括专业医疗、机构床位、护理人员等，其占比提升意味着政府、机构与家庭照护压力同步增加。

值得注意的是，马尔科夫模型不仅用于趋势预测，更重要的是其高度敏感性赋予了模型出色的政策模拟与评估功能。模型敏感性分析显示：若将“亚健康→失能”或“患病→失能”的单步转移概率上调0.02（例如从0.03 提升至0.05），在5 年预测周期内，“失能”人口比例可上升超过2%，对养老资源投入需求产生放大效应。这表明，即使是轻微概率参数的调整，也将在长期状态演化中形成链式响应，影响末端服务需求结构。

进一步分析还发现，模型系统具有典型的“小输入—大结果”特性。例如，通过社区干预、康复训练等方式将“亚健康→失能”的概率下调 0.02，可使“失能”状态人口在五年后减少 1.3–1.7%，相当于减轻大量机构床位和护理服务负担。该结果说明，早期健康干预虽成本低、目标分散，但因作用链条处于状态转移初期，长期效应被逐步放大，形成显著结构性正向反馈。

综上，马尔科夫链模型不仅准确刻画了老年人健康状态的动态变化过程，也突出了健康服务系统在干预响应性方面的复杂性。该模型的政策模拟价值在于能够识别“敏感节点”“关键路径”，为制定“前期强干预—后期低压力”的养老战略提供理论支撑与量化依据。

六、结论

本文基于多状态马尔科夫链构建了老年人健康状态转移模型，明确划分了五种互斥状态（健康、亚健康、患病、失能、死亡），通过实证数据与专家校正构建状态转移概率矩阵，并结合数值模拟与矩阵运算，系统揭示了老年人健康状态随时间推移的动态变化规律。

模型结果显示，健康状态逐年恶化趋势明显，失能和患病人群不断上升，长期稳态下死亡状态所占比例高26%。这一过程对应着养老服务需求结构的持续变化，失能护理、

医疗支持、机构床位等资源压力不断加大

综上所述，多状态马尔可夫链在老年 的应用，不仅可实现长期趋势分析，也能为健康干预、政策设计、 治理现代化的重要技术工具。本文通过多状态马尔科夫链对老年 转移概率、长期状态分布，为养老服务需求提供预测基础。模型 逐年上升的趋势。研究为养老政策、资源配置、长期护理规划提供了 时间非齐次性、深度学习算法拓展研究。

参考文献：

[1] 付思佳 ， 方亚 . （2023）. 基于多状态马尔科夫模型的居家养老服务需求预测研究 . 中国卫生统计 ，（03）， 12–15.

[2] 何鹏. （2022）. 中国老年人健康状况预测研究 [ 硕士论文]. 中南财经政法大学

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[4] 钟仁耀 ， 马微波 . （2024）. 智慧康养服务模式下认知症老人服务质量提升的路径探析 . 华东师范大学学报（ 哲学社会科学版）.