载荷未知条件下纯弯曲梁的的挠度计算

一引言

材料力学中的本构关系揭示了应力与应变（力与位移）之间的内在联系。常规教学通常遵循“已知应力求应变”或“已知力求位移”的正向分析路径。然而，工程实际中往往需要采用逆向思维，即“由测得应变求应力”或“由位移求力”。例如：在单向拉伸 / 压缩中，轴向变形量 Δl 可通过公式 Δl=εl ，由测得的轴向应变 ε 直接求得（式中 l 为原始长度）。在纯剪切扭转中，单位长度扭转角、 θ 可通过测量与轴线成 45^∘ 方向上的线应变 ε_45^- °求得，其关系为 θ=4ε₄₅/ d （式中 d 为圆轴扭转的直径）

在梁的弯曲变形理论中，挠度 w 和转角 θ 是两个核心变形参数。教材中求解挠度的常用方法（积分法与叠加法）均以已知作用载荷为前提。借鉴上述逆向思维方式，本文探讨在载荷未知条件下，如何通过测量应变来求解纯弯曲梁的挠度。

二载荷未知条件下纯弯曲梁的的挠度计算

1 理论计算

材料力学中[1]，计算梁弯曲变形的经典方法为积分法和叠加法。挠度 w 是衡量弯曲变形程度的重要指标。在线弹性、小变形范围内，梁的变形满足以下基本关系：

其中，ρ 为曲率半径。在平截面假设和假定梁纵向平面之间不因弯曲而相互挤压的条件下，等直梁的挠曲线近似微分方程可表示为:

EIw^′′(x)=M(x)

其中，EI 为梁的抗弯刚度。通过积分方程（2），代入边界条件，即可得到梁的挠曲线方程。

梁横截面上的正应变沿梁高度方向呈线性分布:

其中， σ_ε 为横截面上距离中性轴为 Δy 处的正应变。在实际工程中，有时难以直接获知构件所受载荷。若梁上载荷未知，则无法确定弯矩方程 M(x) ，进而无法通过积分法或叠加法求解挠曲线方程。在载荷未知条件下利用应变测量反求挠度。由式(4) 可知，应变与曲率直接相关。

2 实验方案

1 实验采用矩形截面等直钢梁，横截面高度 h=40mm ，宽度 b=20mm ，两支座跨度 ，弹性模量 E=200GPa ，泊松比 v=0.3∘ 采用四点弯曲加载（如图 1 所示），在梁中部两个集中荷载之间形成纯弯段，对应弯矩 M 等于集中荷载值 P 乘以加载臂长度a。

在纯弯段侧面沿梁高方向粘贴五个应变片（工作片），位置分别为：梁上下表面 y₂=-y_2^′=-h/2 、中性层 y₀=0 以及距中性层上下方 y₁=-y_1^′=-h/4 处。另在梁的非变形区（如右支点外侧）粘贴一个应变片作为温度补偿片。由式(4) 可知 任意两点 的应变差与曲率的关系为：

此方法无需预先精确知道中性轴位置（但需测量点间距）。即使中性轴位置未知，只要测量点位置已知（可通过几何测量确定），即可由式 (5) 计算曲率 [2-3]。纯弯曲梁，各横截面曲率相等，对式（6）进行两次积分得到:

施加适当的边界条件（例如，在纯弯段端点，挠度和转角通常需与相邻段协调），即可求得该纯弯段的挠曲线方程及其最大挠度值。对于简支梁四点弯曲，最大挠度通常发生在梁跨中位置。

3 实验数据

实验中固定加载臂长度 a=160mm 。对梁施加不同载荷 P，记录相应载荷下梁上表面和下表面的应变测量值 ε₂ 和 ε₂^′ 。利用式 (6) 计算曲率 1/ρ ，其中y₂-y_2^′=h=40mm 。再结合纯弯段几何与边界条件计算得到跨中实验挠度值 W_exp 。同时，根据已知载荷 F 和梁参数，按理论公式（积分法）计算理论挠度值理论挠度值 ΔΨ_theo 作为对比。数据记录如表 1 所示，数据显示，在不同载荷等级下，通过应变测量反算得到的挠度值 W_exp 与根据已知载荷理论计算得到的挠度值 w_theo 吻合度非常高。这充分验证了载荷未知条件下，通过应变测量反求纯弯曲梁挠度方法的可行性和准确性。

得到:

三​总结

本文将“由应变求载荷 / 变形”的逆向工程思维引入弯曲变形教学，打破了传统教学中“已知载荷求变形”的单一模式。通过“理论分析 - 实验设计 -动手操作 - 数据处理 - 结果验证”的完整流程，不仅加深了学生对弯曲变形核心概念（应变、应力、弯矩、曲率、挠度）及其相互关系的理解，更显著提升了其运用理论知识解决实际工程问题的能力，有力地培养了学生的实践创新意识和科学探究精神。

参考文献：

[1] 李培超 范志毅 刘小妹 简明工程力学 [M]． ( 第2 版). 北京：清华大学出版社，2016

[2] 祝捷 , 陈霁月 , 曹阳阳 , 王建强 , 梁书锋 , 刘谨嘉 . 从材料力学课程到大学生创新训练的延伸教学 [J]. 山西建筑 2020，22（46）:175-178

[3] 朱定国 . 基于最小二乘法的 LabVIEW 拟合桥梁挠曲线研究 [J]. 科技研究 ,2011,12(12）：139-143.

课题项目：2025 工程技术大学大学生创新计划（项目编号：cx2501002）