非线性分数q-差分方程边值问题解的存在性

分数阶微积分理论作为数学学科的一个重要分支，在近几十年来得到了广泛的应用，并且微积分在物理、数学领域具有较多应用。分数阶q-差分方程是非线性分数阶微积分理论的一个非常重要的方向，它的非局部性以及记忆性能够更好地应对复杂的系统状态变化的动态过程。本文通过研究非线性分数q-差分方程边值问题解的存在为动态系统的稳定性，控制性提供指导。

一，非线性分数q - 差分方程边值问题现状

目前国际上众多学者已对分数q - 差分方程展开研究。最早在研究初期主要是为了研究微积分的理论架构，研究q - 差分算子的定义与性质推导，后来随着理论深入，越来越多的学者发现边值问题解的存在性，通过运用不动点定理，拓扑度理论等方法对于这类问题有了一定深入的了解。但是，对于非线性分数q -差分方程边值问题解的存在性研究仍旧存在空缺，理论体系并不完善，学者在研究的过程当中需要突破理论的壁垒，再考虑存在性的影响时，进一步扩大实验范围，完善实验步骤，考虑复杂非线性项以及非标准边界条件时，解的存在性判定准则尚需进一步拓展和深化。在现有的理论研究中，有多种理论验证的方式与方法，考虑到差分方程编值解问题的现状，需要选择合理的计算方式与方法进行验证。

2. 边值问题

考虑边值条件 u（a）=A ， u（b）=B ，形成非线性分数q - 差分方程边值问题。

（三）不动点定理与变分原理

1. 不动点定理

介绍 Schauder 不动点定理、Krasnoselskii 不动点定理等在非线性分析中常用的不动点定理，这些定理为证明边值问题解的存在性提供了有力工具。

2. 变分原理

简述变分原理的基本概念，将边值问题转化为寻找能量泛函的临界点问题，通过分析能量泛函的性质来确定解的存在性。

三、非线性分数 q⋅ - 差分方程边值问题解的存在性分析

（一）基于不动点定理的解存在性

四、数值算例与结果分析

（一）数值方法的选择与实现

在述职方法和选择的过程当中，尽可能的多个计算，将数值方法与计算结果相结合，深入研究数值方法来源的科学性，可靠性。利用q-配置法对非线性分数 q-差分方程边值问题求解，即首先将区间[a， b]_q 离散化，在离散点处令原方程成立及满足边界条件得到线性方程组，再使用数值分析中常用的迭代算法如Newton 迭代法求解线性方程组，从而得到边值问题的数值解。

（二）算例展示与结果讨论

在结果分析的过程中，需要根据相应的数值进行科学的分析，结论分析，应当公平公正，符合结论预期以及计算事实，在进行算力展示的过程当中，尽可能完善步骤，给出结果后，应当及时对算出的结果进行验证，反复对比验证理论分析得出更为准确的结果，给出具体例子来说明，即不同的非线性项形式和边界条件的 q-差分方程边值问题，用数值方法得到数值结果并与理论分析的结果比较，根据所得结果判断数值结果是否符合理论预测、数值方法是否收敛稳定，并考察不同参数（q、α）的影响，再次验证以上理论分析的结果。

五、结论

基于结合不动点定理、变分原理等方法对非线性分数q 差分方程边值问题的解进行了研究，在不同的非线性项条件下建立了相应的解存在的判据，并给出了相应的数值算例以说明所得结论的有效性；但针对具有更为复杂的非局部边界条件和时变非线性项的情形，解的存在性有待于进一步研究。因此可拓展边界条件的类型以及从侧面考虑时变非线性项对解的影响；另一方面，也可以继续挖掘分数q 差分方程与其它数学分支之间的联系，寻求更多的数学方法来解决更多实际问题。

参考文献

1]许永娜.内蒙古地区ISEC 项目院校现存问题探究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2015，31（23）： 17

2]谷素华.本科院校双语教学中存在的问题及对策[J.内蒙古财经大学学报，2021，19（04）：46-48.

[3]崔玉宝，崔岩.课程思政背景下“以学生为中心” 的教法、学法、考法改革与实践 J.赤峰学院学报（自然科学版）.2023，39（08）：67-70.

作者简介：郭云星，出生日期：1984.06.10，性别：女，民族：汉，籍贯： 山东聊城，学历：本科，职称：讲师，研究方向：数学与应用数学。

课题：基于非线性q﹣差分方程边值问题的可解性研究（项目编号GJJ219004）