三分损益法的跨学科教学实践

摘要 三分损益法是中国历史上最早的也是相对完备的律学理论。本文根据其弦长的计算方法特质展开了音乐与数学、物理的跨学科教学实践。实践对象为10位有乐团参与经验的初中生，年龄不等。实践过程中发现，三分损益法的计算与得出过程可以有效帮助学生将已有的数学知识和物理知识与音乐理论知识相结合，同时还可以对乐理中的音高与音程概念有更为深入的理解。

关键词：三分损益法 跨学科 音乐理论知识

一、关于三分损益法

三分损益法是中国最早的也是最完备的律学理论。其最早记录于春秋时期《管子·地员篇》。其中“损”意为减少，“益”为增加；而“三分损益”的意思则是通过持续的减少/增加弦长的三分之一，以五度相生的方式得出完整的音阶。

三分损益法的计算过程不仅包含了丰富的音乐理论知识，更体现了数学的分数运算以及物理的测量等相关知识。本文将以“教师作为研究者”[1]的研究方法为指导，通过一种跨学科的教学实践来再现和验证这一音高计算方法，同时以“探究式学习”（inquiry-based learning）[2]作为框架进行教学设计。

二、跨学科教学设计与实施过程

1. 教学对象的选择与教学准备

以三分损益法的验证过程为核心的跨学科教学实践将会包含数学中分数的计算知识以及物理中的测量以及误差等知识。在人教版教材中，关于分数的知识最早出现于三年级上册；关于测量的知识出现在八年级上册。而三分损益法的计算过程涉及到的音乐理论知识包括音程、音高、五声调式、五度循环，以及对相关概念的听辨能力。鉴于此，参加这一涉及音乐、数学、物理三门学科的跨学科学习的学生需在初二左右，同时具备一定的音乐学习基础。

由于学习内容的难度限制，教学对象选定为一组校外机构的乐团学生，年龄为12-14岁不等，人数为10人。

本次教学的目标是以中国古代三分损益法为依据，通过计算和测量来得出一个包含宫、商、角、徵、羽的完整的五声音阶。本次课程为网络实时课程，因此教学材料的选择需要尽量简洁并方便获取。最终确定需要用到的材料包括（1）一条无弹性的细绳作为弦；（2）剪刀；（3）卷尺。另外考虑到弦在测量截取后需要固定并弹响，但学生居家条件有限，很难找到固定弦的设备，所以采用单手捏住一段，另一段用牙齿固定，再用另一只手弹响的方式来完成。

本次课程时长为1小时30分钟，包括实践部分和讨论部分，各占45分钟。

2. 计算原理与实践过程

在《管子·地员篇》中，关于三分损益法的计算过程为：“凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。”它的大意为：若想得到一个五声音阶，先要以一段弦长为标准音，即“黄钟”，将其作为“宫”，增加其长度的三分之一，得到的弦长为“徵”；将徵弦减少原长度的三分之一，可以得到“商”；将商的弦长增加三分之一，便可得到“羽”；再将羽的弦长减少三分之一，可以得到“角”。经过这样连续的增加（益）和减少（损），就可以得出一个完整的五声音阶。

罗天全曾以相对音高为参照列出了五声调式音名与弦长[3]，如下：

戴俊超也曾在其研究中再现过这一数学算式[4]，如下：

（1×3）4=9×9 =81 .....宫

81×4/3 = 108 ......徵

108×2/3 = 72 ......商

72×4/3 = 96 ......羽

96×2/3 = 64 ......角

为了让学生更清晰明确的了解计算过程，并且尽可能的让计算更接近《管子·地员篇》中的文字描述，特将计算方法以及公式进行如下调整：

假设“宫”音的弦长为n，则“徵”音的弦长公式为，“商”音的弦长公式为，“羽”音的弦长公式为，“角”音的弦长公式为。

这一系列的公式虽然书写繁琐，但是很好的体现出了在上一弦长基础上进行“三分损一”和“三分益一”的过程。也可简化为较为简洁和方便理解的公式，即：宫=宫；徵=

虽然《管子·地员篇》中明确指出了“宫”音弦长为八十一，但是考虑到现实情况下无论是以厘米为单位还是以毫米为单位，接下来的“徵”音、“商”音、“羽”音和“角”音都会因为弦长过长或过短而不便截取，因此将三的四次方（“先主一而三之，四开以合九九”）调整为三的三次方，即二十七，以方面后面弦长的计算。

具体实践过程如下：

（1）先取一段长度为27厘米的线，将其确定为“宫”音；

（2）根据公式“徵= ”，可以得出“徵”音的弦长为27+ =36；

（3）根据公式“商= ”，可以得出“商”音的弦长为=24

（4）根据公式“羽= ”，可以得出“羽”音的弦长为

（5）根据公式“角= ”，可以得出“角”音的弦长为

最终可以得出以27厘米为“宫”音的五声音阶弦长为：“徵”音36厘米，“商”音24厘米，“羽”音32厘米，“角”音21厘米。经过验证，所得五声音阶的音高基本准确。

在参与学习的10名学生中，共有8名学生最后得到了完整的五声音阶，并验证准确。其中一名学生由于使用了总长为20厘米的塑料格尺，而无法准确截取弦长；另一名学生由于选择了长度有限的“鞋带”作为弦的材料，仅得到了“宫”音和“徵”音两段弦。

3. 课堂讨论

在三分损益法的验证实践部分结束后，教师带领学生们进行了三方面问题的讨论：（1）学科意识；（2）学科知识；（3）知识的延伸。

（1） 学科意识

讨论最开始的部分，请学生们思考：“在刚才实践的过程中，你调动了自己哪个学科的知识？”学生回答最多的是“数学知识”，个别学生说到了“物理课上学到的测量”，有一位学生马上补充道：“还有震动和频率”。也有学生提到了“语文知识”，因为“老师最开始给我们看的是古文”；还有学生提到了“历史”，因为“老师说到了春秋时期，距今有两千多年的历史”。

（2） 学科知识

在整合学科知识的基础上，分别从音乐、数学、物理三个学科为核心进行了展开。结合学生的学科知识基础，课堂上选择了三个关键知识点来展开讨论，具体如下表所示：

学科 知识点 讨论问题

音乐 音程 三分损益法的计算过程中音程是以怎样的形式出现的？

数学 分数 三分损益法的计算公式还可以有哪些种形式？

物理 误差 在三分损益法的实践过程中，哪些因素可以导致五声音阶的验证失败？为什么

音程的探讨中，学生可以快速的意识到“上方五度”和“下方四度”的音高生成规律，并和他们在乐理课上所学的“五度循环”概念建立联系。其间还有学生在钢琴上进行了演示和说明；在关于计算公式的其他形式讨论中，学生的反应并不如之前的问题踊跃，大部分学生表示很难想象，仅有一位同学表示“我需要更多的时间来思考”。

整个讨论过程中发言最积极的是第三个部分，关于物理中“误差”的探讨。由于有两位同学因为材料的原因没有完成实践部分，因此他们得出了“材料的选择将直接影响实践结果”的结论，也得到了其他同学的广泛认同。另外有部分同学提到了另外一个物理上的关键问题，即“振幅”，他们是这样总结的：“弦拉的越紧，弦的震动频率越高，音也就越高；反之，弦拉的越松，弦的震动频率越低，音也就越低。所以，如果我们想让我们的实践结果接近准确，就要尽量保持同样的力量来拉弦。”基于这个回答，还有同学提出了想设计一个“拉弦的机器”的想法，因为“可以把松紧度设定的统一一些。”在此基础上，教师进一步补充了用手和牙齿来固定弦的过程中容易造成的误差问题。

（3） 知识的延伸

为了让学生在本次跨学科的学习中有更深入的思考，同时能结合学生的讨论来更好的将所学的知识进行延伸，课后作业设定为自由探索。题目如下：

“今天我们的跨学科学习涉及到了音乐、数学和物理三个主要学科的知识，也有同学在前面提到了语文、历史。请你在此基础上选择一个自己喜欢的学科作为研究方向来进行自由探索，下次上课的时候来向我们展示你的发现。可以是文章、视频、图画、ppt中任何的形式。”

三.小结

1.关于“探究式学习”背景下的课程框架设计

佩达斯特等人曾在研究中指出，探究式学习模式虽然存在多种不同的定义，但是广泛认可的框架模式包括：导向、概念、调查、结论、讨论这五个部分。因此，本次课程的设计也遵循了这样的模式，以“三分损益法”为导向，以“音程”、“分数”、“误差”为知识点概念，以验证三分损益法作为实践调查，引导学生得出结果作为结论，最后以学科为出发点进行融合式讨论。探究式学习模式目前在以国际文凭（International Baccalaureate）为代表的国际课程中具有较高的认可度[5]。

2.关于后序相关研究的设想

本次以教师作为研究者视角下的跨学科教学实践将中国古代的音律计算方法与数学、物理学科相结合，为学生的提供了更为广阔的学习视角。虽然教学过程中还有很多不尽如人意的地方需要完善，但为学生建立了一个更为科学和理性的视角来进行音乐学习，从而走出“音乐学习只是单一乐器学习”的误区。同时，通过对中国传统律学理论的探索，也让学生对中国古代音乐史有了大致的了解。未来相关研究还可以针对中国传统音乐文化进行更多、更广泛的跨学科实践，包括但不局限于音乐与其他艺术、音乐与自然科学、音乐与社会科学等。

参考文献：

[1] Conway， C.， & Jeffers， T. （2004）. The teacher as researcher in beginning instrumental music. Update： Applications of Research in Music Education， 22（2）， 35-45.

[2] Pedaste， M.， Mäeots， M.， Siiman， L. A.， De Jong， T.， Van Riesen， S. A.， Kamp， E. T.， ... & Tsourlidaki， E. （2015）. Phases of inquiry-based learning： Definitions and the inquiry cycle. Educational research review， 14， 47-61.

[3] 罗天全. （1995）. 试论管子 “三分损益法”. 管子学刊， 2.

[4] 戴俊超. （2009）. 三分损益律与数学计算. 中国音乐， 1.

[5] Twigg， V. V. （2010）. Teachers’ practices， values and beliefs for successful inquiry-based teaching in the International Baccalaureate Primary Years Programme. Journal of Research in International Education， 9（1）， 40-65.

项目名称：高校音乐基础理论课程体系与教学内容整体优化研究——基于国际音乐课程的分析借鉴 海南省高等教育教学改革研究项目（Hnjgzc2022-19）

作者简介：张乐，女，满族，1986年4月生，黑龙江人，博士，高校教师，研究方向：音乐教育