“万有引力与宇宙航行”中物理量比值的辨析

摘 要： 《万有引力与宇宙航行》一章，展现了科学发展过程中科学家们富有创造而又严谨的科学思维和科学态度，，对于激起学生对科学探究的兴趣，增强民族自豪感，落实“科学态度与责任”这一核心素养[1]具有重要意义。但学生对天体运动较为遥远和陌生，存在对模型理解不够深入、物理量比值混乱等问题，因此做好模型的对比与分析尤为重要。

关键词 高中物理 万有引力 比值辨析

在《万有引力与宇宙航行》一章中，既有人类对天体运动规律的探究过程，又介绍了经典力学的一座丰碑——万有引力定律，还涉及人类的太空之旅。牛顿运用其运动定律研究天体运动并结合开普勒定律建立了伟大的万有引力定律，展现了科学发展过程中科学家们富有创造而又严谨的科学思维和科学态度。通过本章的学习，要使学生深刻体会科学定律对人类探索未知世界的作用，激起学生对科学探究的兴趣，增强民族自豪感，落实“科学态度与责任”这一核心素养[1]。但由于学生对天体运动较为遥远和陌生，存在对各模型混淆和理解不够深入等问题，因此做好各模型的对比与分析尤为重要。

可借助例1，引发学生的激烈讨论与深度思考，进一步明确各模型间的区别。

例1：地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，设三者质量相等，则（ ）

A．F1＝F2>F3B．a1＝a2＝g >a3

C．v1＝v2＝v>v3D．ω1＝ω3<ω2

1、速度比值辨析

常见的几类速度比值：椭圆轨道上的两个点、半径不同的两个圆轨道、赤道表面上的物体与同步卫星线速度比较，要清楚地区分各个结果，需要学生真正理解各模型的异同点，知道万有引力提供什么力，从而列出等式关系进行比较。

1.1 椭圆轨道上A、B两点的速度（图1）：该速度并不等于 ，因此速度比值就不等于 ，而是等于。而对于两个圆轨道上A、B两点的线速度的比值等于。比值中是否有根号，与半径成正比还是反比，容易混乱导致错误。本质原因在于，卫星做匀速圆周运动时，轨道为圆轨道，万有引力始终指向圆心，提供圆周运动的向心力，=，，=。而在椭圆轨道运行时，万有引力不等于向心力，等式不成立，比值关系自然就不成立。

对于椭圆轨道，可以借助“开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等[1]”来求解。在很小的时间Δt内（图2），扫过的面积相等可表示为Δt=Δt，得=，即=。还有另一种方法可以求解，椭圆上A、B两点曲率圆的半径r是相等的，则A点：=，B点：=，得=。

1.2 赤道表面上的物体与同步卫星线速度比较：对于赤道表面的物体，其随地球自转的线速度也不等于，因为万有引力不是全部用于提供向心力的，而是提供向心力和重力。因此只能借助其与同步卫星的角速度都等于地球自转的角速度来求解线速度的关系。v=wr，w相同时，则线速度与半径成正比。需要注意的是，对于地球表面的物体，半径指其到地轴的距离，而不一定是地心。

2、向心力大小比较

比较向心力时，学生很难快速的想到卫星的向心力就等于万有引力，需经常强调。而涉及到地球表面物体时，又分不清万有引力、向心力和重力的关系，这边建议带着学生计算向心力、重力的具体数值，以帮助其理解。

在两极，由于到地轴的距离为零，因此随地球一起自转的向心力为零，万有引力全部用于提供重力，即=。而在地球赤道表面，万有引力、向心力和重力都指向地心，是同向的，因此万有引力等于重力和向心力的和，即=+。由于，因此万有引力近似全部提供重力，而向心力和重力之间不存在相等关系，而是远小于的关系。

2.1 近地卫星和同步卫星向心力比较：其实就是比较两卫星与地球之间的万有引力，，越远万有引力越小。当然前提是已知两卫星的质量关系，否则是无法比较的。

2.2 近地卫星和赤道表面的物体向心力比较：近地卫星的轨道半径近似为地球半球半径，物体与卫星质量相等时，两者所受的万有引力是相等的，但由于万有引力主要提供表面物体的重力，只有很少一部分提供向心力，因此表面物体的向心力远小于近地卫星的向心力。

3、加速度比值辨析：

如果要比较“赤道表面重力加速度”、“赤道表面物体随地球自转的向心加速度”、“近地卫星的加速度”和“同步卫星的加速度”的大小关系，很多学生都一头乱麻、无从下手。此时需要从最熟悉的模型开始，一点点进行突破。

3.1 近似卫星和同步卫星：两者都属于环绕模型，万有引力提供向心力，即，=，则，=。

3.2 赤道表面物体随地球自转的向心加速度和同步卫星：前者属于表面模型、后者属于环绕模型，前者万有引力主要提供重力，后者万有引力提供向心力，因此没有统一的公式进行计算比较，只能借助于两者角速度相等，，则，=。

3.3表面重力加速度、表面物体随地球自转的向心加速度、近地卫星加速度：经过前面分析可知，表面重力远大于向心力，因此。由于=+，则；若不考虑地球自转，。

综合以上分析：不考虑地球自转时，=。

4、结语

对于万有引力一章中卫星、地球表面物体的线速度、角速度、加速度、向心力等物理量的比较，分析清楚模型是关键，要明确万有引力提供的是向心力还是重力，擅用表面物体与同步卫星角速度相等这一条件，顺利解决相关问题，激起对科学探究的兴趣，落实“科学态度与责任”等物理核心素养。