投资的收益和风险

摘要：本文以投资效益为目标，所面临的风险为其主要影响因素，对投资问题建立了一个优化模型。投资是指将资金投入到某种资产或项目中，以期获得收益的行为。在投资过程中，收益和风险是密切相关的两个方面。收益是指投资所获得的回报，而风险则是指投资所面临的不确定性和可能的损失。在投资中，收益和风险往往是正相关的。高收益的投资往往伴随着高风险，而低风险的投资往往只能获得较低的收益。这是因为高收益的投资往往需要承担更大的不确定性和风险，而低风险的投资则相对稳定但收益有限。

关键词：收益与风险 投资组合方案 多目标优化 最优化问题

因此，为了降低总体风险，一方面投资者可以通过分散投资来降低风险。分散投资是指将资金分散投资于不同的资产类别或项目中，以降低单一投资的风险。通过分散投资，即使某个投资出现亏损，也可以通过其他投资的收益来弥补，从而降低整体投资组合的风险。另一方面，投资者要定期进行投资组合的调整和优化。投资市场的情况和投资者的需求都是不断变化的，因此投资者需要根据市场的变化和自身的需求进行投资组合的调整和优化，以适应市场的变化和实现更好的收益和风险控制。

基于此为了选出最优的投资方案以达到收益最大化的同时，风险最低。可以采取以下方式：对于这种二目标优化问题，可以分条件分别进行讨论，即考虑平均风险损失率和平均盈利水平率，让投资者在进行投资时综合考虑收益和风险。投资者应该明确自己的风险承受能力和投资目标。不同的投资者有不同的风险偏好和投资目标，因此应选择适合自己的投资方式和产品。采用偏好系数加权法对收益的预期收益和总风险进行评价，然后分情况对不同投资者提出不同的建议。

综上所述，投资的收益和风险是密切相关的。投资者在进行投资时需要综合考虑收益和风险，并采取相应的风险控制和收益优化策略，以实现投资目标和获取稳定的收益。

一、问题重述

1.1问题的背景

投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。世界各国都在积极发展自己的风险投资业，以促进经济的发展和国家的繁荣，关于风险投资一般是指特定的人员或机构向创业初期预期有较大发展潜力。这里的特定人员或机构一般具有较高的技能和较为雄厚的资本，通常称为风险投资者或风险投资公司：接受投资或管理的企业，通常是高科技企业，称为风险企业。由于风险投资与企业创业紧密联系在一起，所以又称创业投资。在我国，风险投资刚刚起步，但对国民经济发展和社会进步意义十分重大，因而越来越引起人们的重视。

投资的收益和风险是投资者在进行投资决策时必须考虑的重要因素。通过投资组合方案，投资者可以平衡收益和风险，实现收益的最大化。在选择投资组合方案时，投资者需要考虑自身的风险承受能力和投资目标，以及不同类型资产的风险特征和收益特征。

1.2问题的重述

问题一：根据给定的特定四种资产选择，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

问题二：在一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。即总结一般规律。给出定理使在投资额一定的情况下，给出经济效益尽可能最大，风险尽可能最小的最优投资方案。

二、基本假设

1、总投资资金数额M相当大;

2、投资越分散，总的风险越小;

3、总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量;

4、n种资产Si之间是相互独立的;

5、本问题讨论基于在投资的这一时间内平均收益率 ri ，费率为 Pi以及风险损失率qi固定不变的情况下;

6、本问题应考虑在一定时间内投资者拥有的全部资金，没有外部的增加与减少，并全部用与购买资产;

7、净收益和总体风险只受ri、qi、Pi影响，不受其他外部因素

三、符号说明

四、问题分析

本题中的投资问题是利用所给的数据，通过给定的收益率和损失率计算分析得到一种满足使盈利尽可能大的同时，理论中的风险损失尽可能小的最优方案，并由此推广到一般情况，但实际生活中我们知道盈利越大，其所需要面临的风险损失也就越高，盈利越小，其所对应的风险损失也就越小。因此在本问题中我们可以分别抽出以下两种情况：

a、在风险一定的情况下，取得最大的收益，建立风险——收益模型 b、在收益一定的情况下，所面临的风险最小，建立收益——风险模型由于本题所要考虑的决策属性有收益和风险两种，在多属性决策问题的求解过程中，属性的权重具有举足轻重的的作用，它被用来反映属性的相对重要性，因此本题我们将采用偏好系数加权法。在实际生活中，不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，但在一定范围内都是正常的.所以我们只能要求选择一种尽量好的方案.即风险尽量小，收益尽量大，这符合题意和一般投资者的心理。

表1给出的四种投资项目各自的平均收益率，风险损失率以及交易费率各不相同，我们先以qi为 横坐标表示风险.以（ri—pi）为纵坐标表示收益建立一个粗略的图形.从大体趋势可以看出，qi越大，（ri—pi）也越大，即风险越大，期望收益越大．同理对表2画出图2，亦可看出同样的趋势．虽然很粗糙，但符合一般的实际情况。

题目所给出的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际计算中不容易处理但我们注意到，在表1中，ui的数值非常小，对其中最大的ui来说，u2=198，而已知的M是一笔相当大的资金，同时交易费率的值也很小，因此以 ui来计算交易费与用xi直接计算交易费相差无几，所以，后面我们具体计算时，为简化暂不考虑ui的约束，都已xi来代替ui计算交易费。投资者在问题一的情况下可对五种项目投资，其中银行无风险，收益r0＝ 5％为定值，在投资期问不会变动.其它投资项目虽都有一定的风险，但收益可能大于银行利率.我们拟建立一个模型，这个模型对一般投资者都适用.并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的投资方案.（把投资者分为一冒险型，温和型与保守型，越积极冒险的人对风险损失的承受能力越强，用，作为指标来划分.）相较于问题一，问题二只是在问题一的基础上将项目投资的选择类型由4种增加到15种。因此，其整体的做题思路和问题一基本一致。

五、模型建立与分析

由前面的分析已经知道：风险越大，利益可能越大。所以，利益与风险是一对矛盾，我们根据要求用多目标化的方法来建立最优化模型，力求利益大，风险小。寻找一种令投资者满意的方案。

1、建立模型

（1）总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量，即：

根据题目给的数据，可求出每一项中的常数数值，整个模型只有5个x和y是变量。

我们分别求出不同风险率a情况下模型的解；从a=0开始，每次增加0.001，上限由我们自己进行设定，然后通过工具箱绘制出图形。

由此我们可以得出第一题这两种方案：

1.较为保守的投资者会选择较低风险获取较高收益，即当风险为0.006时最大收益20.19%的方案。

2.较为激进的投资者则会选择最高收益，即风险为 0.025 时 26.73%的最大收益，而当风险大于0.025时收益不会提高，那么就不会选择提高风险值。

通过计算可得最大收益率随风险率的增长图线可分为五段，其中第一段斜率最大，所以收益率随风险率的提升的增长速度最快，第五段斜率为零，因此随着风险率的提升，而投资所获得的最大收益率最终会趋于定值。

由此我们可以得出第二题这两种方案：

1.较为保守的投资者会选择较低风险获取较高收益，即当风险为0.099时最大收益30.49%的方案。

2.较为激进的投资者则会选择最高收益，即风险为 0.566 时 40.94%的最大收益，而当风险大于0.566时收益不会提高，那么就不会选择提高风险值。

参考文献：

《投资的收益和风险的建模》 傅园旭 李冲 程龙

《浅谈金融投资的收益和风险的数学模型》 傅浩哲

《投资的利润与风险问题》 海莲