浅谈融入课程思政的线性代数教学设计

摘要：本文以线性代数课程中的初等行变换模块为载体，探讨将课程思政元素融入数学公共课程的教学设计路径．通过挖掘初等行变换知识体系中蕴含的数学思维方法和科学精神，将数学的严谨性、系统性特征与社会主义核心价值观相融合，在培养学生数学能力的同时，渗透辩证唯物主义思想、科学探索精神及创新意识．

关键字：课程思政，初等行变换，秩

2020年6月，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，就课程思政建设目标和内容重点、课程思政教学体系以及结合专业特点分类推进课程思政建设作出明确要求，其中对理工类公共基础课程课程思政建设也做了相应的说明，对各高校课程思政教学改革进行指导和规范．

线性代数是理、工、经、管等本科各专业基础必修课，课程内容相对比较抽象，所以教学中注重理论与应用相结合，注重抽象问题具象化，由浅入深地培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力；矩阵的初等变换是线性代数中最常见的运算，计算过程相对较繁琐，在此过程中注重培养学生面临困难时的抗压能力和取得成功所需的吃苦耐劳精神；学习过程中引导学生体会“形变质不变”的哲学观点，注重在潜移默化中坚定学生理想信念、加强品德修养、增长知识见识、提升综合素质，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感，厚植爱国主义情怀和为人民服务的崇高理想．

一、课程思政教学设计思路

通过本节学习，使学生能够理解矩阵初等变换和矩阵秩的基本概念、基本思想和基本原理；掌握初等变换的求法，以及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法；培养学生能够应用正确的科学方法，解决相应的科学问题．通过加入了以“变”为突破，以“不变”为根基，让同学们意识到在认识每一个事物的时候都一定要通过表象弄清实质，明白形式改变背后隐藏的真谛，从而正确理解在发展过程中，“变”与“不变”的辩证关系．

二、案例设计与教学过程

1．矩阵初等变换的背景，激发学生文化自信．

矩阵初等变换最早出现在公元一世纪左右的《九章算术》，书中第八章“方程”采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致．这是世界上最早的完整的线性方程组的解法．在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则．通过这个案例，弘扬了中国文化，增强了学生民族自豪感、文化自信心和爱国情怀，也提高了学生的学习热情．

2．矩阵秩的重要意义，提高学生学习动力．

矩阵的秩（rang）的概念是由德国数学家Frobenius在1879年提出的概念，rang是德语，意思是：等级，阶层．为什么翻译成秩呢？在中文里，秩的本义为：根据功过确定的官员俸禄；引申义为：根据功过评定的官员品级．所以矩阵中的秩取等级的意思，而不同矩阵的秩有大小，就相当矩阵有等级的高低．

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念．《线性代数》课程内容中，包括线性方程组解的存在性和解的结构、向量组的线性关系、特征值特征向量、二次型等，都与矩阵的秩密切相关．因此，理解矩阵的秩、掌握矩阵秩的求法，对学好《线性代数》课程至关重要．另外，矩阵的秩在其他后继课程中，也广泛应用．在物理学中，秩为1的矩阵通常用来描述一些特殊的物理现象，例如光的偏振、电磁波的传播和量子态的疊加等；在电路分析中，矩阵秩可以用来描述电路的稳定性和可控性，例如，一个电路的秩为n，意味着它有n个独立的节点，这些节点可以被控制和测量；在物理学中，电路的秩可以用来描述电路的复杂性和可靠性，特别是在微电子学和通信领域；在数据挖掘和机器学习中，我们经常会遇到一些数据本身存在一定的不确定性，比如气象数据、金融数据等等，在这种情况下，我们可以通过计算矩阵的秩来描述数据的不确定性，从而更好地理解数据的本质．

从上述应用中可以看出，矩阵的秩是线性代数中非常重要的概念之一，它可以用来描述线性方程组的解的精度、矩阵的分解和数据的不确定性等方面．在实际问题中，矩阵的秩具有非常广泛的应用，是现代数学和工程学中不可或缺的基础知识．

3．知识传授

矩阵秩的概念是比较抽象的，学生往往无法快速理解，我们通过一个简单的问题引出．给定线性方程组，实际有效的方程有几个？学生通过高斯消元法，就可以得到答案．而此过程中，用到的互换两个方程的位置、数乘某一个方程、某一个方程的常数倍加到另一个方程，对应的就是系数矩阵的初等行变换．三类矩阵的初等行变换在几何上可理解为：交换行，即坐标轴重新标记；数乘行，即空间伸缩变换；行加减，即超平面倾斜调整．经过初等行变换，就可以把矩阵化为行阶梯型矩阵，满足两个特点：所有非零行（即元素不全为0的行）在所有零行（即元素全为0的行）的上面；所有非零行的首个非零元所在的列标是严格递增的．

接下里可以给出矩阵秩的定义。设A是m×n矩阵，如果存在A的一个r阶子式不为零，而A的所有r+1阶子式（如果存在的话）全为零，则称e为矩阵A的秩．而矩阵的秩跟行阶梯型矩阵矩阵有什么关系？我们可以考查以下两个矩阵的秩．设矩阵，，由于存在A的一个2阶子式，而A共有4个3阶子式，，，，它们都等于0，所以矩阵A的秩为2．对于矩阵B，存在B的3阶子式，而B的所有4阶子式显然都为0，所以矩阵B的秩为3．因为m×n阶矩阵的k阶子式有个，若矩阵的阶数较大，k阶子式的个数也较庞大，因此直接得到所有的k阶子式，计算会相当复杂．上例中的两个例子在应用定义求秩时，很明显求B的秩比求A的秩容易得多．而这种类型的矩阵就是行阶梯形矩阵．所以通常我们都是用初等变换的方法把矩阵化为阶梯形矩阵，再求秩．这种方法的理论依据为，初等变换不改变矩阵的秩．该定理的证明较抽象，可以将详细的证明过程以视频形式上传在线学习平台，供学生自主学习．课堂教学中，可再举一个例子，给学生联系巩固．

4．矩阵的初等变换和矩阵秩的发展前景，增强学生的学习兴趣．

矩阵是线性代数的基础，而矩阵的初等变换和矩阵的秩是矩阵运算的基础．实际问题中，用到的矩阵阶数往往很大，不利于计算和表述，因此需要找到矩阵的“最基本构成单元”，即行最简形矩阵，其中非零行的行数就是矩阵的秩，矩阵中其他元素都可由这些非零行，通过线性运算得到．秩的求取就是“去伪求真”的过程．

比如我们在计算机储存数据的时候，我们知道了矩阵的秩-基本单元，其它的行我们就不用单独储存数据了，有基本单元通过简单的计算公式得出，节约了大量储存空间和计算时间．我们计算矩阵的秩就是寻找最基本的单元，以寻找矩阵的等级大小．比如矩阵A是100行100列的矩阵，A的秩是r，是10行10列；矩阵B是1000行100列的矩阵，B的秩是r，也是10行10列；那么矩阵C和矩阵D是同一阶层的矩阵，他们需要的储存空间相同，那么他们本源矩阵A和本源矩阵B，虽然数据量相差很大，但是他们只需要相同的储存空间就行了．计算机、5G技术、大数据、人工智能等国家重点发展领域，矩阵是应用十分广泛的基础性工具，有十分广阔的发展前景．

三、课堂小结与思考

本节主要介绍了矩阵秩的基本概念和矩阵初等变换求秩的方法，以及初等变换和矩阵秩的重要性和应用的广泛性，使学生对后继的课程有大致的了解．重点强调初等变换是线性代数中最重要的概念，同时也是线性代数中解决问题最重要的方法，所以必须得熟练的掌握它．掌握了它就掌握线性代数．

参考文献

[1]刘方红，曹秀娟，王言英．《线性代数》课程思政教育专题研究[J]．公关世界，2020（20）：152-153

[2]梁填，张文超．基于案例式教学的线性代数课程思政教学改革实践与探索[J]．大学教育，2024（20）：82-86