多情境解决小学数学“鸡兔同笼”问题

引言

小学生正处在具体运算思维的发展阶段，他们的知识建构离不开直观形象的支持，数学学习既包含把抽象概念变成数学模型的过程，还要给数学理论赋予实际含义，而且借助生活化的场景加深对数学原理的认识，在此情形之下，小学数学模型具备动态性和迭代性这两种特性，能够达成反复搭建并不断改良的目的。

1 常规解法

在“鸡兔同笼”问题的教学实践当中，学生会采用假设法、枚举法以及列表法等手段来求解，由于四年级的学生尚未接触到方程知识，本次研究不涉及根据方程求解的问题，也不包含列表法的相关探讨，主要针对假设法展开分析，探究其应用价值以及可能存在的不足之处，从调研数据可以看出，在实际教学中，大部分教师反馈学生使用假设法时，容易被多重假设的情景所干扰，为了提升解题效果，教师通常会引导学生归纳提炼出核心结论：“若把所有的对象都假设成兔子，那么就能得到一个结论，即‘鸡的数量 ⋅= （每只兔子脚数×总数-实际脚数）÷ （每只兔子脚数-每只鸡脚数）’（简称‘设兔求鸡’），再得出‘兔子的数量 Ψ:=Ψ 总数-鸡的数量’这个关系式。”假设全部个体都是鸡，那么可以得到公式：“兔的数量 （实际脚数-每只鸡脚数×总数） ÷ （每只兔脚数-每只鸡脚数）”（简称“设鸡求兔”），根据这个公式“鸡的数量 总数-兔的数量”，在教学过程中，老师经常让学生利用假设来得出上述的计算法则，但是大多数学生往往依赖老师的假设情境进行思考，很难独立的建立出完整的假设推理，虽然有些学生有一定的假设能力，但是仍然会因为理解有误而产生疑惑，尤其是那些反应比较慢的学生更容易被复杂的假设推理所困扰，只能机械地记住结论，而不能真正地理解其本质意义，这也在一定程度上影响了数学思维品质的培养。

2 打破常规，另类假设

针对传统假设法教学中固有的不足之处，笔者创造性地构建了“新型假设法”模型，以期能更好地帮助学生深入理解和掌握“鸡兔同笼”类问题，提升学生的数学思维能力和解决问题的能力，突破传统的一维化思维束缚，使学生重新从多维角度审视问题的假设条件。抛弃传统的、用单一属性全量推导的方式，创造性的提出根据具体某个差或者总数等约束条件下做假设的假设策略，并利用假设法系统分析和高效求解问题。虽然这个方案存在一定的复杂性，不过它最主要的目的还是加深学生对于核心概念的认识，而且要提高他们的抽象思维以及逻辑推理能力，在具体的教学过程中，老师可以设计出一种递进式的问题情境，一步步地带领学生们去探究并熟练掌握使用假设方法的技巧，经过不断练习和归纳总结之后，学生就会慢慢形成一种针对不同问题情境挑选合适假设策略的能力，进而对“鸡兔同笼”这类问题采取更加高效灵活的解决办法。

3 趁热打铁，拓展学生的思维

教师可创设类似的情境来加强教学效果，“抬脚法”里鸡借助地面来解决，能否学习鸡的方法让兔子双足站立起来？如果兔子学鸡，呈现出双足直立的状态，那就会变成一只典型的四足动物，从俯视角度来说，头的数量没有变化，但是每只兔子都要把两前爪抬起放在胸前，这时应该怎样重新定义这一现象呢？教师应当及时引导学生，试着让兔子完成站立的动作，把鸡和兔都放在双足着地的状态，统计的结果是 15×2=30 （只），和开始设定的40 不相符，缺少了 10 只脚，学生经过思考之后说：“缺少的脚在胸前。”教师给予肯定之后再继续启发：每只兔子抬起两前爪确实会导致总数减少10 个单位，具体数量应该是10÷2=5 （只），那么兔子的总数就是 5，进而可以推算出鸡的数量为15-5=10 （只）。在师生互动中，探讨假设法的核心计算公式：兔子数量 σ=σ （实际脚数-鸡兔总数 ⋅×2 ） ÷ 每只兔子站立时的脚数；鸡的数量=鸡兔总数-兔子数量。以“鸡一屁股坐地上”为例题，教师只需要稍加点拨，学生就能在“让兔子站直”的情境中，自主探究出解题方法。在数学问题解决过程中，如果教师的指导恰当，学生会得到超出预期的学习成果。著名教育家陶行知曾提出：“生活即教育，社会即学校。”[4]他倡导的生活化教育理念认为，教育要与实际相结合，做到“在生活中学习，在服务中成长”。数学来源于实践，也服务于实践，教师在教学中切忌脱离情境，一味地讲授或者灌输，这样容易导致理论与现实的差距过大，从而影响学生的参与热情和学习动力，不利于学生综合素质的全面发展。培养学生创新思维时，其创意常常存在多样性特点，在课堂上，有个学生提出一种独特想法，认为鸡有双翼，假如鸡能够变形，把双翼变成前肢，鸡就会变成四足，按照这种想法，动物的腿加起来应该是 15^*4=60 条，但是实际看到的只有40 条，差距在于把鸡的双翼当成了一条腿，经过修正之后，得到鸡的数量是（60-40） /2=10 只，兔子的数量则是 15-10=5 只。另一个学生另辟蹊径：假设鸡和兔子都有特殊的能力，鸡可以飞起来，兔子可以直立行走，这样地上就只有兔子的脚印了，根据这个思路，兔子的脚印应该是 40-15+2=10 只，所以兔子的数量就是 10/2=5 只，鸡的数量就是 15-5=10 只。教育实践者要根据学生的发展需求来设计教学方案，创造既有趣又合适的教学环境，符合学生的认知发展水平，并且营造出开放包容的学习氛围，利用启发式教学方法，教师可以促使学生参与到知识建构的过程中，让学生从被动接受知识转变为积极主动地去探索知识，这种做法与波利亚提倡的“半步跳跃”思维训练模式相呼应，两者都强调情境创设对学生内在学习动力的激发作用。

结语

通过研究显示，“鸡兔同笼”问题的教学策略具备多种功能，此类方法既可引领学生把握经典问题的多种解题途径，又可以明显改进他们的逻辑推理能力和革新思维水平，按照实际的数据表明，冲破传统思维框架的逆向假设法能有效地激起学生的学习兴趣，促使他们深入探究问题的本质特点，加深对数学原理以及应用价值的认识，凭借生活化的场景设计，可有效地缩减抽象概念和现实生活之间的距离，彰显数学学科的独特魅力和实际意义，从而最大限度地调动学生的自主学习积极性和参与热情。

参考文献：

［1］郜舒竹．“鸡兔同笼”算法源流［J］．教学月刊小学版（数学），2012（Z2）：26－29