情境化教学中数形结合思想的渗透

函数是初中数学核心概念，是研究客观世界变量变化规律的模型.它是在学生学习了代数式、方程等知识的基础上进行的拓展和深化.它将数与形结合起来，把对数量关系的研究转化为对图形的研究.一次函数作为初中数学函数知识体系的重要基础，借助数形结合的方法进行探索，能让我们更深入地理解其本质特征与内在规律.本文以“一次函数的图像（1）”为教学案例，探讨数形结合思想在初中数学学习中的核心地位.

一、教学内容

（一）创设情境：

探索活动：“课本 148 页”蜡烛燃烧的问题

点燃一支香，感受它的长度随着时间的变化而变化.观察图片，用得到的信息填写下表.

设置如下问题串：

（1）这支香点燃 5 分钟后缩短了多少？点燃 10 分钟后呢？你有什么发现？

（2）用 表示香的长度 Ψ_，x （分）表示燃烧时间，你能发现 y 与 Ψ_x 之间有什么关系呢？能写出 与 x 之间的函数表达式吗？

（3）依次连接图片中香的顶端，你有什么发现？

（4）你能利用平面直角坐标系，将图片揭示的信息以及你的发现告诉大家吗？

设计意图：创设香燃烧的生活情境，从学生的生活实际出发，体现数学来源于生活，用生活活动经验为情境问题的导入做铺垫.以问题串的形式出现，激发学生不断思考，帮助学生理解图片中隐含的信息，使学生数学常规思维得到突破，从而解决对应问题.

（二）知识形成：

1.动手操作：请按要求作出一次函数 y=x+1 的图像解：（1）列表：恰当地选取自变量 x 的几个值，计算相应的 _ν 值

（2）描点：以表中的每一组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.

（3）连线：顺次连接描出的各点.

所得到的图形就是一次函数 y=x+1 的图像.

2.小组讨论：

（1）画一次函数图像的一般步骤是什么？每一个步需要注意什么？

（2）一次函数图像的特征是什么？

（3）所有的一次函数图像都是一条直线吗？如果是，那有什么简单的方法可以画出一次函数的图像吗？

3.集体交流：（教师在学生交流的基础上补充和完善）

（1）作一次函数图像的一般步骤：列表，描点，连线.列表时注意两端的省略号，表示这样的点有无数个；画图时要突出直线是无限延伸的变化趋势.

（2）一次函数 y=kx+b （k、 b 为常数，且 k≠0 ）的图像是一条直线.

（3）由两点确定一条直线，所以作一次函数的图像时，只要先确定图像上的两个点，再过这两个点作直线就可以了.

设计意图：学生通过动手画图，体会数形结合的思想贯穿其中.通过作图，展现了一次函数图像的特征：一条直线.以问题串的形式进行小组讨论，引起学生的认知冲突，使学生对新知产生质疑，从而激发学生学习数学知识的兴趣，最后通过集体交流，老师补充，使学生深刻感受知识的本质.

（三）知识运用：

通过合作探究，学生们对一次函数图像有了进一步的认识，能否正确画出一次函数的图像是知识向能力提升的关键.本节课设计了让学生自主展示的环节.

把全班同学纵向分成三大组，给出三个一次函数，分别为 y=x-1 、 y= -3x+3 、 y=2x+1 ，对应组全组成员画出相应的一次函数图像，完成后，从每组任意挑出两名同学作品进行展示，其他成员进行点评，最后老师进行总结.

思考：如果选用两个点去作图，通常情况下选取什么样的两个点坐标画一次函数图像更简单呢？

总结：一般选取坐标轴上的两个点坐标画一次函数图像较为简单

（四）例题讲解：

例 1.在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=2x 与 y=2x+1 的图像.你有什么发现？

总结：正比例函数图像的特征：过原点的一条直线；

k 相同时，两条直线平行.

例 2.（2，5）、（3，8）（4，9）是否在一次函数 y=2x+1 的图像上？思考：如何确定一个点是否在一个一次函数的图像上？

设计意图：例题的设置是为了反馈教学，例 1 设置了两个一次函数，其中一个正比例函数呈现了正比例函数图像的特征.例 2 是学生对一次函数图像更深的理解，体会点和直线的位置关系，展示了数与形的巧妙结合.学生通过知识的升华，感受数学的乐趣.

（五）课堂小结：

通过本节课的学习，设计了以下三个问题：

（1）你学会了哪些知识；（2）你掌握了哪些数学的思想方法；（3）你还有哪些疑惑或继续想探究的内容？

设计意图：考察了学生通过本节课的学习所得到的收货，学生体会到数形结合思想的重要作用，让学生谈疑惑，发散学生的数学思维，提高学生的知识储备.

二、教学反思

本节课通过生活中的情景引入新课，激发了学生的兴趣，通过连接图片中香的顶端，在平面直角坐标系中进行描点，引导学生探究，初步得到一次函数的图像是一条直线，为学习图像的画法作铺垫，这其中蕴含着数形结合的思想，“以形助数”，“用数解形”验证一次函数图像的特征：一条直线.通过动手操作让学生自主探究作图的步骤，思考每个步骤的注意点和联系，掌握利用描点法画出一次函数的图像，并归纳出一般步骤，形成主动学习的态度，培养了学生良好习惯的学习习惯.

本节课的重点之一是一次函数图像的画法，在课堂教学中我在引导学生动手操作的同时，让他们感受一次函数图像的形成过程，从而画出一次函数的图像.本节课的另一重点是一次函数的图像的特征：一条直线，我坚持 “以学生活动为主，教师讲述为辅，尽量为学生提供更多时间去思考，让学生进行小组合作探究，在交流合作中渗透数形结合的数学思想方法，让学生体会数与形的密切联系.

三、总结提升

华罗庚先生曾用“数缺形时少直观，形少数时难入微”来高度概括数形结合的作用.然而，函数图像是函数关系的直观体现，通过观察一次函数的图像来分析一次函数的性质，能让学生深刻体会到数与形之间的相互转化和紧密联系，是培养学生数形结合思维的重要载体.

通过数形结合，学生能更清晰地认识到数学知识之间的内在联系，有助于构建完整的数学知识体系，从整体上把握数学知识.

参考文献：

[1]义务教育教科书.八年级数学上册.[M]江苏凤凰科技出版社，2013.