中考几何压轴题解题分析

1：引言

在中考数学中，几何压轴题是最具难度的题型，所以考生往往在这类题型最容易失分.因此考生的思考和解题策略至关重要。要想解答好中考几何压轴题，第一步就是认真审题，审题的目的是全面理解题目中已知量与所求量之间的逻辑关系，确定下一步的解题思路，在理清解题思路的基础上，需结合问题特征选择合适的数学方法和思维策略解决问题，提高解题效率[1]

2：中考几何压轴题例题的分析

中考几何压轴题通常有两个问题或三个问题，第一个问题考查的是基础的知识点，要么考查两个三角形相似或全等，要么简单的证明线段的关系，一般是平行或者证明，要么就是简单的求边的长度或角的度数。这一类问题一般不需要添加辅助线就能求解，因此解答第一个问题对于基础知识比较扎实的考生往往难度不大。第二个和第三个问题的难点在于需要把已知条件综合应用，并且可能需要添加辅助线才能给出完整的信息，如果懂得辅助线如何添加，则解题难度极大降低，所以中考几何压轴题的难点就在于如何综合已知的条件，添加上对应的辅助线。接下来将通过一道中考几何压轴题来分析如何解答压轴题的第三问。

以下是 2024 年湖北中考的几何压轴题，

例 1：在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 的对应点 P 落在边 CD 上，点 B 的对应点为点 G，PG 交 BC 于点 H.

（图 2-1）

（图 2-3）

(1)如图 2-1，求证： ΔDEP～ΔCPH ；

(2)如图 2-2，当 P 为 CD 的中点， AB=2 ， _AD=3 时，求 GH 的长；

(3)如图 2-3，连接 BG，当 P，H 分别为 CD，BC 的中点时，探究 BG 与 AB 的数量关系，并说明理由。

分析：第一问要求证明 ΔDEP～ΔCPH ，第一问不需要添加辅助线，只需从图像上找到这两个三角形所对应的边和角，由矩形可以知道， ∠A=∠B=∠C=∠D=90 °，所以得出结论ΔDEP，ΔCPH 都是直角三角形，再通过翻折这一条件能发现∠AΠ=∠EPH=90^∘ ，结合图像能推出 ∠DPE+∠CPH=90^∘ °，由此可以推出 ∠DEP=∠ HPC， ∠C=∠D ，从而证明了两三角形相似。（证略）

分析：第二问求边 GH 的长，由图 2-2 可以发现 GH=PG-PH=AB-PH，由第一问的结果可以知道 ΔDEP～PCH ，由此可以得到关系式 再由题目条件可得 PC= DP=1 ，可将 EP 的长设为 x ，则 ED=3-x ，通过勾股定理可以求得 x 的值，代入关系式后便可求得 GH 的长度。（证略）

分析：第三问求线段 AB 和 BG 的数量关系，首先找到两条线段间的关系，它们有一公共点 B，G 点由 B 点沿 EF 翻折得到，A 点沿 EF 翻折得到点 P，连接 AP，可以直观的推出 BG ，又因为 AE=EP ，所以可以推出∠BAP B=∠ GPA，因此可以将 AB、PG 延长交于一点 M，此时 Δ APM 为等腰三角形且ΔAPM～ΔBGM， AB=A M-BM 且 因为 P 为 DC 中点，所以可设 DC=AB=PG=2y ，则 DP=PC=y ，又因为 H 为 BC 中点，所以可得 BH=CH，又由图像可得∠PHC B=∠ BHM， ∠CBM= ∠PCH，所以 ΔMBH≅ΔPCH ，所以可得 BM=CP=y ，PH=HM，所以 因此可以求出 ， ，最后可以得到 ，代入可得

证：

如图 2-4，延长 AB，PG 交于一点 M，链接 AP，

∵E，F 别在 AD，BC 上，将四边形 ABFE 沿 EF 翻折，使 A 的对称点 P 落在 CD上，

此时点 A，B 与点 P，G 以 EF 为对称轴对称，

∴AP⊥EF，BG⊥EF，

∴BG AP，

∵ ⋅_AE=EP ，

∴∠EAP =∠ EPA，

∴∠BAP =∠ GPA，

∴ΔMAP 是等腰三角形，

∴MA=MP，

∵P 为 CD 中点，

∴设 DP=CP=y ，∴AB=PG=CD=2y

∵H 为 BC 中点，

∴BH=CH，

∵ ⋅∠B_HM=∠C_HP ， ∠CBM=∠PCH ，

∴ΔMBH≌ΔPCH(ASA)，

∴ BM=CP=y ， HM=HP ，

∴MP=MA=MB+AB=3y，

∴

在 RTΔPCH 中， ， .

∴ .

在 RTΔAPD 中， ，

∵BG‖AP，

∴ΔBMG～ΔAMP，

∴ 2 ，

∴ ，即 .

（图 2-2）

（图 2-4）

3.总结

总的来说，求解中考几何压轴题是培养学生综合数学核心素养的重要途经[2]，求解中考几何压轴题可以提升学生的解题速度、拓宽学生的解题思路[3]。因此在实际教学过程中，教师应根据学生的学习水平分层教学，对于学习水平较高的学生，教师应培养学生学会审题，中考几何压轴题通常会涉及到很多个知识点，需要考生综合运用这些知识点进行分析和解答.而在解题过程中，需要注意以下几个方面：

（1）第一问考查的是比较基础的知识点，不要钻牛角尖，把它想的太难.

（2）第二问需要把众多的知识点结合在一起，一般都需要用到第一问的结论。

（3）第三问需要添加辅助线来使得条件更加直观，如何添加辅助线需要学生注意图形的构造和变形，如平移、旋转、翻转等，以便确定图形的位置和关系。[4]

参考文献

[1]王秋娟.探究解题策略内化数学思想——例谈中考数学压轴题的解题策略[J].数理化解题研究,2024,(02):71-73.

[2]白云生.展现思考路径发展核心素养——一道中考压轴题的教学[J].中学数学教 学参考,2023,(26):25-27.

[3]陈雅怡.从一道中考压轴题谈数学核心素养的培养[J].试题与研究,2020,(21):154.

[4]李美兰.核心素养下“一课一题”初中几何复习课深度教学策略研究——以一道 中考压轴题为例[J].数学之友,2023,37(19):40-43.