HPM视角下创建激发学生兴趣的课堂

HPM 的领域中里有一项非常重要的工作，就是要在数学教学中“融入数学史”，通过直接体现历史、间接借鉴历史或者深度挖掘历史背景，体现知识的自然发生和发展过程，更加合理的发现问题、分析问题和解决问题。把数学文化融入中学数学教学，让学生更加全面地了解数学，不再局限于课本上的定理和习题，而是能够接触到一个充满趣味和智慧的数学世界。

传统数学教学注重知识的灌输和解题技巧的训练，学生往往将数学视为一门枯燥的学科，在学习过程缺乏乐趣，导致好多学生对数学产生畏难情绪，甚至失去学习兴趣。数学文化的引入，能够为数学教学注入新的活力，为激发学生兴趣提供多种途径。

一、数学史融入教学的重要性

在中学数学课堂上融入数学史，能让学生了解数学知识的产生背景和发展过程，认识到数学并非一成不变，而是经过无数数学家的努力和创新逐步形成的。例如，讲述勾股定理的历史，从古代中国的《周髀算经》中“勾三股四弦五”的记载，到古希腊毕达哥拉斯学派的研究，学生可以看到不同文化背景下对同一数学规律的探索。这些历史故事能让学生感受到数学的源远流长，激发他们的好奇心和求知欲。

中学数学中蕴含着丰富的数学思想方法，在教学中渗透数学思想方法，能帮助学生更好地理解数学知识，掌握解题方法，提高思维能力。如，通过数形结合思想，将抽象的代数问题转化为直观的几何图形，使问题更加形象易懂。讲解一次函数与二元一次方程组的关系时，利用函数图象与方程组的解之间的联系，让学生从图形和代数两个角度去理解问题，既能加深对知识的理解，又能体会到数学思想方法的巧妙之处。

在未来的教育中，应进一步重视数学文化的教育价值，不断探索将数学文化融入中学数学教学的有效途径和方法，让更多的学生在数学文化的熏陶下，激发积极的数学情感，树立正确的数学信念 。

二、数学教学需培养学生的兴趣

HPM 视角下的数学教学就是要培养学生的好奇心和兴趣，有了兴趣和好奇心，学生才能更加主动地学习数学。在普通中学中，很大一部分学生对数学缺乏兴趣，教师教得非常累，学生学得非常苦，简单的知识教了就忘，公式背了就忘，抄作业现象很普遍，很多学生的厌学情绪浓烈。数学史有着丰富多彩的内涵，生动有趣的故事、穿越时空的智慧、贴近生活的问题、赏心悦目的艺术等，都可以充分调动学生的积极性，使他们形成良好的数学情感和态度。

三、“数系的扩充和复数的概念”的教学现状

“数系的扩充和复数的概念”是人教 A 版必修第 2 册 7.1 节内容，本单元的学习，帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。”下面，我们就对本节课的相关教学问题进行分析。

书中给出思考题： x²+1=0 在实数集中无解。联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？”学生的感受是：既然初中教科书已经明确这个方程设有实根，到了高中何必非得使它有根？换言之，以“使方程 x²+1=0 有根”作为虚数的引入虽然简洁明了，不足以让学生产生强烈的认知欲望，这需要我们从数学史中寻求解决方案。

历史上虚数的引入并非一帆风顺。16 世纪以前的数学家认为负数开平方就是一个“不可能”问题。12 世纪印度数学家婆什伽罗在《算法本原》中指出：“正数的平方根有两个，一个正，一个负。负数没有平方根。”12 世纪西班牙犹太学者希亚、13 世纪意大利数学家斐波那契、15 世纪意大利数学家帕乔利和法国数学家许凯在讨论一元二次方程的根时，都遇到 Δ<0 的情形，他们都认为负数平方根是不存在的。16 世纪至 17 世纪，数学家们对卡丹公式“不可能”情形以及三次方程实根之间的矛盾感到困惑，这种强烈的认知冲突驱使邦贝利以及后来的莱布尼茨等数学家对虚数进行深入研究并最终解决矛盾，这才是研究负数开平方问题的直接动因。

为什么高中数学教科书没有呈现这一数学史时，主要原因是高一阶段并不要求学生掌握三次方程的求根问题，学生可以通过因式分解转化为二次方程的求根问题。这样，若照搬史实，将超出教学内容。若忽略这一事实，又容易引起学生不解，如何还原虚数产生过程中的历史片段，以激发学生的学习动机？如何在引入虚数之后有效地利用学生学习时产生的质疑，使之形成正确的认识？因此，我们从 HPM 视角出发，借鉴数学史，对三次方程求根问题进行了合乎学生认知水平的教学处理，并将复平面知识顺势提前，使学生认识到“虚数是可以捉摸的”，让他们体会到“虚数是有用的”。

四、基于HPM 视角下“数系的扩充和复数的概念”的教学

1.学生情景剧展示，还原数系的发展

2.引入虚数的必要性的探究

1545 年，意大利数学家卡丹在《大术》中也提出一个类似的问题：“将 10 分生成两个部分，使它们的乘积等于 40 。“如何求这两个数？

设 其 中 一 个 数 为 x ， 则 另 一 个 数 为 10-x ， 得 到x²-1a+4=0 ，但0 Δ=-15<0 ，方程无解。

但 卡 丹 运 用 二 次 方 程 的 求 根 公 式 ， 发 现

16 世纪意大利数学家邦贝利解三次方程时遇到了一个奇怪的现象，他用卡丹公式得到了方程 x³=15x+4 的三个根 或

他 又 换 个 角 度 ， 把 这 个 三 次 方 程 因 式 分 解 为 解出 了

同一个方程，根当然相同，这无疑激起了我们的好奇，解决问题。那就是负数开平方，解决 ^-1 能开平方。

回顾数系的扩充过程，都是在原来数集基础上“添加”新数得来的。在新的数集中，原来的运算和性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不可以实施的矛盾。我们也添加新数，使“ ^-1 能开平方”，引入新数“ i ”，使“ i²=-1 ”。新数 i 是1777 年欧拉提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是它只存在于“想象之中”。

3.探索复数的一般表达形式

复数 = +  ， ∈ 实数 =0虚数 ≠0&纯虚数 =0， ≠0& 实部≠0 的虚数 ≠0， ≠0

4.探索复数的几何意义

所有的实数都可以与数轴上的点一一对应，而复数的一般表达形式告诉我们，它有两个实数确定，我们像实数一样为复数建立一个与之对应的几何模型，再引入一条数轴，建立直角坐标系，我们称之为复平面，这样以来复数也能看得见。

整节课中，学生经历了虚数概念产生和发展的过程，他们中的大多数较为自然地接受了虚数。虚数的历史告诉学生，数学家曾经也有过困惑，这是数学发展过程中必然会有的现象，而今天，他们在学习过程中遇到困难、经历困惑，乃是稀松平常之事。因此，历史让学生能够正确看待自己，不至于因为遭遇困难而丧失信心。另一方面，学生在课堂上感受科学的探索永无止境，要学习数学家们锲而不舍、勇于探索的精神，“大胆质疑，小心求证”的科学态度，不断探索未知世界，追求真理和智慧的光芒。

总之，HPM 视角下“数系的扩充和复数的概念”一课给我们带来了很大的启示，使我们充分认识到数系扩充的过程是数学发现与创造的过程，是人类社会文明发展的客观要求。作为教师，应学会将数学文化多维度融入课堂，激发学生的兴趣，使教学效果高效而有趣，有效的培养学生各方面能力。

参考文献：[1] 汪晓勤.HPM： 数学史与数学教育[M]. 北京：科学出版社，2017.