高观点下中学数学问题分析

1 引言

加强高等数学与中学数学的联系一直是教育热点问题，“高观点”下看待中学数学问题能够为中学生进一步学习高等教育中的数学知识打下基础。《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中提出：我国普通高中教育是在义务教育基础上进一步提高国民素质，面向大众的基础教育，任务是促进学生全面而有个性的发展，为学生适应社会生活、高等教育和职业发展作准备，为学生的终身发展奠定基础。数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法。虽然没有明确写明“高观点”的字眼，但却在字里行间充分渗透着“高观点”的思想。同时，近年来不论是全国高考数学还是各省自主命题的高考数学试题都在不断创新，特别是在函数问题中，常常出现以数学分析为背景或与数学分析知识有关的问题 [1]。因此，用数学分析的知识分析中学数学问题很有必要。 本文就举例论述了一些数学分析的知识在中学数学中的应用。

2 用数学分析的知识分析中学数学问题

2.1 定积分

例 （2005 年湖南卷第 21 题）函数 y=f（x） 的图像与直线 σ_X=a，X=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f（x） 在 [a，b] 上的面积，已知函数y=sinnx 在 上的面积为 ，则（i）函数 y=sin3x 在 的面积为 _；

分析：该题以信息形式直接给出了有关图形的面积，再让学生根据题目条件求出另外图形的面积。实质上用数学分析中的定积分相关知识就可以直接得出： ， 对于题（i）学生只=n，需要灵活运用题目所给信息就可以得出正确答案。

2.2 拉格朗日中值定理

例（2017 年全国 I 卷文科第21 题）设函数 f（x）=（1-x²）e^x .

（1）讨论函数 f（x） 的单调性；

（2）当 x⩾0 时， f（x）⩽mx+l ，求 ρ_m 的取值范围。

分析：利用数学分析知识，可以巧妙地解决这道问题。

解：（1） 对 f（x）=（1-x²）e^x 求 导， 可 以 得 到： f（x） 在 ， 上单调递减，在 上单调递增。

（2）首先，将 x 分成两类，即针对 f（x）⩽mx+l ，

当 x=0 时， 成 立， ； 当 时， 即 x> 0， 。x-0

然后，判断 f（x）=（1-x²）e^x 是否符合拉格朗日中值定理的条件。

因为 f（x）=（1-x²）e^x 在 [0，x]（x>0） 上连续，在 （0，x）（x>0） 上可导，所以存在 ζ∈（0，x） ，使得 ，即 m⩾f（ζ）_max∘ 。又f^′（x）=e^x（-x²-2x+1） ，则： f^′（ξ）=e^ξ（-ξ²-2ξ+1） ，所以 f^′（ξ）=-e^ξ（ξ²+4ξ+1）<0 。则 f＼`（ζ） 在 （0，x） 上单调递减。故 。所以 m⩾1 最后，综合取交集。综上所述， m 的取值范围为 [1，+∞ ）。

2.3 凹凸函数

凹凸函数是数学分析中的重要内容。凹凸函数在高中数学中的应用主要在函数部分的求最值或不等式的证明，高中阶段的不等式证明中的一些较为复杂的题目若采用常规的方法不易证明，可通过变形构造凹凸函数来证明[1]。下面用具体例子来展示：

例（2018 年全国 I 卷第16 题） 已知函数 ，则 f （x）的最小值是

解： 考 察 函 数 y=sinx （ 0⩽x⩽π ）。 因 为 y^～=-sinx<0 （ 0⩽x⩽π ）， 所 以 函 数 y=sinx 在 [0，π] 上 是 严 格 凹 函 数。 根据詹森不等式，取 满足 ，从而有 ， 即 。 因 为sinx+sinx+sin（π-2x）=2sinx+sin2x= f （x），所以有 。 故 f（x） 的最

小值为 。2

2.4 洛必达法则

洛必达法则是数学分析中计算极限时的一个很重要的方法，也可以说是数学分析中计算极限问题中使用率最高的一个方法[1]。高中数学中的函数的求参数取值范围问题，在求解时通常较为复杂，如果利用洛必达法则去求解，那么只需进行参数分离，在分离参数后，对新函数求单调性，然后再用洛必达法则求出零点处取得的最值即可，步骤简单，计算量小 [1]。下面将用例子来展示洛必达法则在初等数学中的应用。

例 （2017 年全国Ⅱ卷文科第21 题）设函数 f（x）=（1-x²）e^x .

（1）讨论函数 f（x） 的单调性；

（2）当 x⩾0 时， f（x）⩽mx+l ，求 ρ_m 的取值范围。

分析：前面我们用拉格朗日中值定理求解此题，现用洛必达法则来求解。

解：（1） 对 f（x）=（1-x²）e^x 求 导， 可 以 得 到： f（x） 在 ， 上单调递减，在 上单调递增。

（2）首先，将 σ_X 分成两类，即针对 f（x）⩽mx+1 ，当 时，成立， m∈R ；当 x>0 时， ， 即 ， 等 价 于 恒成立。然后，记 ，则 。记 h（x）=（x-x²-x³-1）e^x+1 x∈（0，+∞） ，则 h^′（x）=-xe^x（x²+4x+1）<0 。因此 h（x） 在 （0，+∞） 上单调递减且 h（x） ，从而 g（x） 在 （0，+ ∞ ） 上单调递减且 g（x） ＜ g（0）。而 g（0） 无定义，所以记 F（x）=（1-x²）e^x-1，G（x）=x，G（x）=x 因为 且 G^′（x）=1≠0 所以由洛必达法则有 从而有 因此 g（x）<1， 。又因为 m⩾g（x） ，所以 m⩾1_c 。综上所述，m 的取值范围为 [1，+∞ ）。

3 小结

本文通过举例的形式来说明数学分析知识在中学数学中的重要指导作用，通过举例的形式论述了利用好数学分析知识能够使得中学数学中较为复杂的问题得到简化。《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中提出：我国普通高中教育是在义务教育基础上进一步提高国民素质，面向大众的基础教育，任务是促进学生全面而有个性的发展，为学生适应社会生活、高等教育和职业发展作准备，为学生的终身发展奠定基础。所以加强高等数学与初等数学的联系很有必要，在中学数学中适当为学生补充高等数学的知识能够帮助学生很好的适应高等教育，能培养学生的大局观念，对学生的学习有很大的帮助。

参考文献

[1] 赵莎. 高中数学与数学分析衔接问题的研究——从高中数学视角出发 [D]. 青海 ： 青海师范大学 ，2019.

[2] 郭丽云 .“高观点”下的中学数学问题分析及教学探索 [D]. 上海 ： 华东师范大学 ，2010.

[3] 胡琳 ， 赵思林 . 高观点下的高考数学试题分析 [J]. 中学数学 ，2019，（13）：35-36.

[4] 王佳星 .“高观点”下的高中数学知识的研究及教学设计 [D].辽宁 ： 辽宁师范大学 ，2018.

[5] 曹雪薇 . 中学数学中的“高观点”探究 [D]. 辽宁 ： 辽宁师范大学 ，2017.

作者简介 ： 罗思媛 （1998 一 ），女，汉族，四川内江人，江门市培英高级中学，高中数学教师，研究方向： 数学教育